Respuesta:
Lo que tienes es una hoja de papel de 30 cm × 20 cm y recortas un cuadrado de lado "x" en cada esquina. Luego procedes a plegar las partes restantes para formar una caja sin tapa. El volumen de esta caja está dado por la fórmula que mencionas: V = x.(20-2x).(30-2x).
Para sacar el volumen de la caja, primero debemos multiplicar las dimensiones de la caja. Así que, el volumen V será igual a:
V = x * (20-2x) * (30-2x)
Para simplificar, podemos expandir el producto de los binomios y seguir resolviendo:
V = x * (20*30 - 2*30*x - 2*20*x + 4*x^2)
V = x * (600 - 60x - 40x + 4x^2)
V = x * (600 - 100x + 4x^2)
V = 600x - 100x^2 + 4x^3
Ahora tenemos una ecuación polinómica para el volumen en términos de x. Para encontrar el valor de x que maximiza este volumen, podemos derivar la ecuación respecto a x y luego encontrar el punto crítico:
dV/dx = 600 - 200x + 12x^2
Para hallar el punto crítico, igualamos la derivada a cero y resolvemos la ecuación:
600 - 200x + 12x^2 = 0
12x^2 - 200x + 600 = 0
Dividimos toda la ecuación por 4 para simplificar:
3x^2 - 50x + 150 = 0
Esta ecuación cuadrática se puede resolver utilizando la fórmula cuadrática o completando el cuadrado. Calculando el discriminante ∆ = b² - 4ac:
∆ = (-50)² - 4*3*150
∆ = 2500 - 1800
∆ = 700
Al tener un discriminante positivo, la ecuación tiene dos soluciones reales. Utilizando la fórmula cuadrática x = (-b ± √∆) / 2a:
x = (50 ± √700) / 6
x ≈ (50 ± 26.46) / 6
x ≈ (50 + 26.46) / 6 o x ≈ (50 - 26.46) / 6
x ≈ 76.46 / 6 o x ≈ 23.54 / 6
x ≈ 12.74 o x ≈ 3.92
Esto nos da dos posibles valores para x: aproximadamente 12.74 y 3.92. Sin embargo, dado que x representa la longitud de los cuadrados recortados de las esquinas y debe ser menor que la mitad de las dimensiones originales (en este caso, 10 cm), la solución válida será x ≈ 3.92 cm.
Por lo tanto, para maximizar el volumen de la caja, debes recortar cuadrados de esquina de aproximadamente 3.92 cm de lado.
