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Para resolver este problema, podemos utilizar propiedades básicas de la geometría y las funciones trigonométricas. Dado que el terreno es un triángulo con ángulos A y C, y se nos da la longitud de AB y la tangente del ángulo C, podemos seguir estos pasos:
1. **Relación entre ángulos A y C:**
Sabemos que la suma de los ángulos A y C es 45°. Por lo tanto, si denotamos el ángulo B como el tercer ángulo del triángulo, entonces:
\[ A + C + B = 180° \]
Dado que \( A + C = 45° \), podemos escribir:
\[ 45° + B = 180° \]
\[ B = 180° - 45° = 135° \]
2. **Relación entre los lados y la tangente del ángulo C:**
Sabemos que la longitud de AB es \( \frac{5}{2} \) y que \( \tan C = \frac{5}{16} \).
La tangente de un ángulo en un triángulo es la razón entre el lado opuesto y el lado adyacente a ese ángulo. En este caso, dado que \( \tan C = \frac{5}{16} \), tenemos:
\[ \frac{\text{longitud de lado opuesto a C}}{\text{longitud de lado adyacente a C}} = \frac{5}{16} \]
3. **Encontrar el lado BC:**
Denotemos la longitud de BC como \( x \). Entonces, podemos usar la relación de tangente para encontrar \( x \).
Sabemos que el lado opuesto a C es AB (longitud \( \frac{5}{2} \)) y el lado adyacente a C es BC (longitud \( x \)). Entonces:
\[ \tan C = \frac{\text{longitud de AB}}{\text{longitud de BC}} = \frac{\frac{5}{2}}{x} \]
Dado que \( \tan C = \frac{5}{16} \), podemos igualar las dos expresiones:
\[ \frac{\frac{5}{2}}{x} = \frac{5}{16} \]
4. **Resolver para \( x \) (longitud de BC):**
Multiplicamos ambos lados de la ecuación por \( x \) para despejar \( x \):
\[ \frac{5}{2} = \frac{5}{16} \times x \]
\[ \frac{5}{2} = \frac{5x}{16} \]
Multiplicamos ambos lados por \( 16 \) para despejar \( x \):
\[ 16 \times \frac{5}{2} = 5x \]
\[ 40 = 5x \]
Finalmente, dividimos ambos lados por \( 5 \) para resolver para \( x \):
\[ x = \frac{40}{5} = 8 \]
Por lo tanto, la longitud del lado BC es \( \boxed{8} \) unidades.
Espero te sirva