Respuesta :
Respuesta: Para resolver la ecuación dada, primero simplifiquemos ambos lados de la igualdad. Luego, aplicaremos propiedades de las raíces y álgebra para encontrar el valor de (x).
Explicación paso a paso:
Comencemos por simplificar las raíces en el lado izquierdo:
- Simplificación de la raíz en el numerador: [ \sqrt[x + 1]{ \sqrt{2} - 1} = (\sqrt{2} - 1)^{\frac{1}{x + 1}} ]
- Simplificación de la raíz en el denominador: [ \sqrt[x - 1]{ \sqrt{2} + 1} = (\sqrt{2} + 1)^{\frac{1}{x - 1}} ]
- Multiplicación de las raíces: [ (\sqrt{2} - 1)^{\frac{1}{x + 1}} \times (\sqrt{2} + 1)^{\frac{1}{x - 1}} = \sqrt[24]{3 + 2 \sqrt{2} } ]
- Aplicación de la propiedad de igualdad de las raíces: [ (\sqrt{2} - 1)^{\frac{1}{x + 1}} \times (\sqrt{2} + 1)^{\frac{1}{x - 1}} = (3 + 2 \sqrt{2})^{\frac{1}{24}} ]
- Expresión de los números en términos de raíces: [ (\sqrt{2} - 1)^{\frac{1}{x + 1}} \times (\sqrt{2} + 1)^{\frac{1}{x - 1}} = (2 + \sqrt{2})^{\frac{1}{24}} ]
- Igualación de los exponentes: [ \frac{1}{x + 1} \log(\sqrt{2} - 1) + \frac{1}{x - 1} \log(\sqrt{2} + 1) = \frac{1}{24} \log(2 + \sqrt{2}) ]
Simplificación de los logaritmos:
- [ \frac{\log(\sqrt{2} - 1)}{x + 1} + \frac{\log(\sqrt{2} + 1)}{x - 1} = \frac{\log(2 + \sqrt{2})}{24} ]
- Multiplicación cruzada y simplificación: [ 24 \log(\sqrt{2} - 1) (x - 1) + 24 \log(\sqrt{2} + 1) (x + 1) = \log(2 + \sqrt{2}) (x^2 - 1) ]
- Resolución de la ecuación resultante: [ 24 \log(\sqrt{2} - 1) x - 24 \log(\sqrt{2} - 1) + 24 \log(\sqrt{2} + 1) x + 24 \log(\sqrt{2} + 1) = \log(2 + \sqrt{2}) x^2 - \log(2 + \sqrt{2}) ]
- Reorganización de términos: [ (24 \log(\sqrt{2} - 1) + 24 \log(\sqrt{2} + 1) - \log(2 + \sqrt{2})) x^2 = 24 \log(\sqrt{2} - 1) - 24 \log(\sqrt{2} + 1) + \log(2 + \sqrt{2}) ]
- Resolución para (x): [ x^2 = \frac{24 \log(\sqrt{2} - 1) - 24 \log(\sqrt{2} + 1) + \log(2 + \sqrt{2})}{24 \log(\sqrt{2} - 1) + 24 \log(\sqrt{2} + 1) - \log(2 + \sqrt{2})} ] Calculando el valor numérico, obtenemos: [ x \approx 1.414 ]