El teorema de la altura dice que, en cualquier triángulo rectángulo, la altura relativa a la hipotenusa (en tu caso BD) es media proporcional entre las proyecciones de los catetos sobre ella.
Fíjate en la figura que adjunto copiada de la tuya y dando nombres a los vértices.
En tu caso, la proyección del cateto AB sobre la hipotenusa es AD y la proyección del cateto BC sobre la hipotenusa es DC
Ayudándonos de ese teorema (basado en triángulos semejantes) podemos calcular la medida de la proyección AD.
Aplicando ese teorema tenemos la proporción:
AD es a BD como BD es a DC
... que en forma de ecuación dice:
AD/BD = BD/DC
Sustituyo datos conocidos y resuelvo:
AD/1 = 1/2 ... de donde ... AD = 1/2 = 0,5
Conocida esa medida, usamos el teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo ABD donde "x" es la hipotenusa de ese triángulo y sabemos la medida del cateto mayor (1 m.) y del cateto menor (0,5 m.)
[tex]\centering\\ {\Large{x\ =\ \sqrt{1^2+0,5^2} =\sqrt{1,25} =1,118\thickapprox\bold{1,12\ m.}[/tex]
Nota: no he visto necesidad de usar el teorema del cateto.
