Para calcular (\frac{{d^2z}}{{dr^2}}), primero necesitamos encontrar las derivadas parciales de (z) con respecto a (r).Dado que (z = \sin(x, y)) y (x = r^2 + s^2), (y = 2rs), podemos reemplazar (x) y (y) en la función (z):[ z = \sin(r^2 + s^2, 2rs) ]Ahora, calcularemos las derivadas parciales de (z) con respecto a (r) utilizando la regla de la cadena:[ \frac{{\partial z}}{{\partial r}} = \frac{{\partial z}}{{\partial x}} \cdot \frac{{\partial x}}{{\partial r}} + \frac{{\partial z}}{{\partial y}} \cdot \frac{{\partial y}}{{\partial r}} ]Para encontrar (\frac{{\partial z}}{{\partial x}}), tomamos la derivada parcial de (\sin) con respecto a su primer argumento:[ \frac{{\partial z}}{{\partial x}} = \cos(r^2 + s^2, 2rs) \cdot \frac{{\partial (r^2 + s^2)}}{{\partial r}} ][ = \cos(r^2 + s^2, 2rs) \cdot (2r) ][ = 2r \cos(r^2 + s^2, 2rs) ]Para encontrar (\frac{{\partial z}}{{\partial y}}), tomamos la derivada parcial de (\sin) con respecto a su segundo argumento:[ \