un hotel lleno alberga a sesenta y dos clientes en treinta y cinco habitaciones unas individuales y otras dobles cuántas habitaciones simples y cuántas dobles tiene el hotel?

El total de habitaciones que tiene el hotel es de 35 -esto es porque el hotel está lleno por tanto todas sus habitaciones están ocupadas-

Donde el total de clientes alojados en el hotel es de 62

Considerando que una habitación simple alberga a 1 cliente

Considerando que una habitación doble alberga a 2 clientes

Estamos en condiciones de plantear un sistema de ecuaciones que satisfaga al problema

El sistema de ecuaciones:

Sumamos la cantidad de habitaciones simples y de habitaciones dobles para establecer la primera ecuación y la igualamos a la cantidad de habitaciones totales que tiene el hotel

[tex]\large\boxed {\bold {x + y = 35 }}[/tex] [tex]\large\textsf{Ecuaci\'on 1 }[/tex]

Luego como una habitación simple alberga a 1 cliente y una habitación doble aloja a 2 clientes planteamos la segunda ecuación, y la igualamos a la cantidad total de clientes que se encuentran en el hotel

[tex]\large\boxed {\bold {x+ 2y = 62 }}[/tex] [tex]\large\textsf{Ecuaci\'on 2 }[/tex]

Luego

Despejamos y en la primera ecuación

En

[tex]\large\textsf{Ecuaci\'on 1}[/tex]

[tex]\large\boxed {\bold {x + y = 35 }}[/tex]

Despejamos y

[tex]\large\boxed {\bold {y =35-x }}[/tex] [tex]\large\textsf{Ecuaci\'on 3}[/tex]

Resolvemos el sistema de ecuaciones

Reemplazando

[tex]\large\textsf{Ecuaci\'on 3 }[/tex]

[tex]\large\boxed {\bold {y =35-x }}[/tex]

[tex]\large\textsf {En Ecuaci\'on 2 }[/tex]

[tex]\large\boxed {\bold {x+ 2y = 62 }}[/tex]

[tex]\boxed {\bold {x + 2\ (35-x) = 62 }}[/tex]

[tex]\boxed {\bold {x+ 70-2x =62 }}[/tex]

[tex]\boxed {\bold {x -2x + 70 = 62 }}[/tex]

[tex]\boxed {\bold {-x + 70 =62 }}[/tex]

[tex]\boxed {\bold {-x = 62 -70 }}[/tex]

[tex]\boxed {\bold { -x = -8 }}[/tex]

[tex]\textsf {Multiplicamos la ecuaci\'on por -1 }[/tex]

[tex]\large\boxed {\bold { x =8 }}[/tex]

Luego el número de habitaciones simples que tiene el hotel es de 8

Hallamos la cantidad de habitaciones dobles

Reemplazando el valor hallado de x en

[tex]\large\textsf{Ecuaci\'on 3 }[/tex]

[tex]\large\boxed {\bold {y =35-x }}[/tex]

[tex]\boxed {\bold {y =35 -8 }}[/tex]

[tex]\large\boxed {\bold {y =27 }}[/tex]

Por tanto la cantidad de habitaciones dobles que tiene el hotel es de 27

Verificación

Reemplazamos los valores hallados para x e y en el sistema de ecuaciones

[tex]\large\textsf{Ecuaci\'on 1 }[/tex]

[tex]\boxed {\bold {x +y = 35 }}[/tex]

[tex]\bold {8 \ habitaciones\ simples + 27 \ habitaciones \ dobles = 35 \ habitaciones}[/tex]

[tex]\boxed {\bold {35 \ habitaciones = 35 \ habitaciones }}[/tex]

[tex]\textsf{Se cumple la igualdad }[/tex]

[tex]\large\textsf{Ecuaci\'on 2 }[/tex]

[tex]\boxed {\bold {x+ 2y = 62 }}[/tex]

[tex]\bold {1 \ cliente \cdot 8 \ habitaciones +2 \ clientes \cdot 27 \ habitaciones = 62 \ clientes}[/tex]

[tex]\bold {8 \ clientes + 54 \ clientes =62 \ clientes }[/tex]

[tex]\boxed {\bold {62 \ clientes= 62 \ clientes }}[/tex]

[tex]\textsf{Se cumple la igualdad }[/tex]

Para finalizar si este problema se hubiese resuelto de manera gráfica, se trazarían las rectas que componen el sistema de ecuaciones con dos incógnitas que modelan el problema. Encontrándose la solución al problema en el punto que las 2 rectas se intersecan

un hotel lleno alberga a sesenta y dos clientes en treinta y cinco habitaciones unas individuales y otras dobles cuántas habitaciones simples y cuántas dobles tiene el hotel?

Respuesta :

El hotel tiene 8 habitaciones simples y 27 habitaciones dobles

Establecemos las ecuaciones que modelan la situación del problema

Llamamos variable "x" a la cantidad de habitaciones simples y variable "y" al número de habitaciones dobles