Respuesta :
La fuerza que se debe aplicar sobre el émbolo menor o pequeño para elevar el cuerpo es de 250.88 N
Empleamos el Principio de Pascal
Una aplicación de este principio es la prensa hidráulica.
Por el Principio de Pascal
[tex]\large\boxed{ \bold{ P_{A} = P_{B} }}[/tex]
Teniendo
[tex]\large\boxed{ \bold{ \frac{ F_{A} }{ S_{A} } = \frac{ F_{B} }{ S_{B} } }}[/tex]
Donde consideramos que los émbolos se encuentran a la misma altura
Por tanto se tienen dos émbolos uno pequeño o el émbolo menor de un lado y el émbolo mayor al otro lado
Donde si se aplica una fuerza F al émbolo de menor área el resultado será una fuerza mucho mayor en el émbolo de mayor área o embolo mayor y viceversa
Para que se cumpla la relación:
[tex]\large\boxed{ \bold{ \frac{ F_{A} }{ S_{A} } = \frac{ F_{B} }{ S_{B} } }}[/tex]
Datos
[tex]\bold{ m_{B }} \ \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{Masa sobre \'embolo mayor}\ \ \ \bold{1000 \ kg}[/tex]
[tex]\bold{ r_{B} } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{Radio \'embolo mayor}\ \ \ \bold{50 \ cm}[/tex]
[tex]\bold{ r_{A} } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{Radio \'embolo menor}\ \ \ \bold{8 \ cm}[/tex]
Luego por enunciado sabemos que se desea elevar sobre el émbolo grande o mayor un cuerpo cuya masa es de 1000 kilogramos
Siendo
[tex]\bold{ m_{B } = 1000 \ kg }[/tex]
Hallamos la fuerza peso que se ejerce en el émbolo o plato mayor
Por la Segunda Ley de Newton
[tex]\large\boxed{ \bold{ F= m \cdot a }}[/tex]
Donde
[tex]\bold{ m} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{masa del cuerpo }[/tex]
[tex]\bold{ a = g} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{Valor de la aceleraci\'on gravitacional}[/tex]
Siendo
[tex]\bold{ m_B } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{masa sobre \'embolo mayor}\ \ \ \bold{1000 \ kg}[/tex]
[tex]\bold{ a = g} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{Valor de la aceleraci\'on gravitacional}\ \ \ \bold{ 9.8 \ \frac{m}{s^{2} } }[/tex]
[tex]\large\textsf{Reemplazamos y resolvemos }[/tex]
[tex]\boxed{ \bold{F_{B} = 1000 \ kg \cdot 9.8 \ \frac{m}{s^{2} } }}[/tex]
[tex]\boxed{ \bold{F_{B} = 9800 \ kg \cdot \frac{m}{s^{2} } }}[/tex]
[tex]\bold{1 \ N = 1 \ kg \cdot \frac{m}{s^{2} } }[/tex]
[tex]\large\boxed{ \bold{ F_{B} = 9800 \ N }}[/tex]
La fuerza ejercida en el émbolo mayor es de 9800 N
Evaluamos las superficies de los émbolos
Determinamos la superficie del émbolo mayor
Émbolo Mayor
El émbolo mayor tiene un radio de 50 centímetros
Hallamos la superficie o área del émbolo mayor empleando la fórmula para calcular el área de un círculo
[tex]\boxed{ \bold{S = \pi \cdot r ^2} }[/tex]
[tex]\large\textsf{Reemplazamos y resolvemos }[/tex]
[tex]\boxed{ \bold{S_{B} = \pi \cdot (50 \ cm ) ^2 }}[/tex]
[tex]\boxed{ \bold{S_{B} = \pi \cdot 2500 \ cm ^2 }}[/tex]
[tex]\large\boxed{ \bold{S_{B} = 2500 \pi \ cm ^2 }}[/tex]
La superficie o área del émbolo o plato mayor es de 2500 π centímetros cuadrados
Hallamos la superficie del émbolo menor o pequeño
Émbolo Menor
El émbolo menor tiene un radio de 8 centímetros
Hallamos la superficie o área del émbolo menor empleando la fórmula para calcular el área de un círculo
[tex]\boxed{ \bold{S = \pi \cdot r ^2} }[/tex]
[tex]\large\textsf{Reemplazamos y resolvemos }[/tex]
[tex]\boxed{ \bold{S_{A} = \pi \cdot (8 \ cm ) ^2 }}[/tex]
[tex]\boxed{ \bold{S_{A} = \pi \cdot 64 \ cm ^2 }}[/tex]
[tex]\large\boxed{ \bold{S_{A} = 64 \pi \ cm ^2 }}[/tex]
La superficie o área del émbolo menor es de 64 π centímetros cuadrados
Calculamos la fuerza que se debe aplicar en el émbolo menor o pequeño para elevar el cuerpo
Por el Principio de Pascal
[tex]\large\boxed{ \bold{ P_{A} = P_{B} }}[/tex]
Teniendo
[tex]\large\boxed{ \bold{ \frac{ F_{A} }{ S_{A} } = \frac{ F_{B} }{ S_{B} } }}[/tex]
Donde
[tex]\bold{ F_{A }} \ \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{Fuerza sobre \'embolo menor}\ \ \ \bold{N}[/tex]
[tex]\bold{ S_{A} } \ \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{\'Area \'embolo menor}\ \ \ \bold{64 \ \pi \ cm^{2} }[/tex]
[tex]\bold{ F_{B }} \ \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{Fuerza sobre \'embolo mayor}\ \ \ \bold{9800 \ N}[/tex]
[tex]\bold{ S_{B} } \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{ \'Area \'embolo mayor}\ \ \ \bold{2500 \ \pi \ cm^{2} }[/tex]
[tex]\large\boxed{ \bold{ \frac{ F_{A} }{ S_{A} } = \frac{ F_{B} }{ S_{B} } }}[/tex]
[tex]\large\textsf{Reemplazamos y resolvemos }[/tex]
[tex]\boxed{ \bold{ \frac{ F_{A} }{ 64\ \pi \ cm ^{2} } = \frac{ 9800 \ N }{ 2500\ \pi \ cm ^{2} } }}[/tex]
[tex]\boxed{ \bold{ F_{A} = \frac{ 9800 \ N \cdot 64\ \pi \ cm ^{2} }{ 2500\ \pi \ cm ^{2}} }}[/tex]
[tex]\textsf{Cancelamos unidades }[/tex]
[tex]\boxed{ \bold{ F_{A} = \frac{ 9800 \ N \cdot 64 \not \pi \not cm ^{2} }{ 2500\not \pi \not cm ^{2}} }}[/tex]
[tex]\boxed{ \bold{ F_{A} = \frac{9800 \cdot 64 }{2500} \ N }}[/tex]
[tex]\boxed{ \bold{ F_{A} = \frac{627200 }{2500} \ N }}[/tex]
[tex]\large\boxed{ \bold{ F_{A} =250.88 \ N }}[/tex]
Luego la fuerza que se debe aplicar sobre el émbolo menor o pequeño para elevar el cuerpo es de 250.88 N
