Respuesta:
Cada ciclista habrá dado 15 vueltas, 12 vueltas y 10 vueltas, respectivamente, hasta el momento en que pasan a la vez por la línea de partida.
Explicación:
Para resolver este problema, primero necesitamos encontrar el mínimo común múltiplo (mcm) de los tiempos que tardan cada ciclista en dar una vuelta completa a la pista circular. En este caso, los tiempos son 8 minutos, 10 minutos y 12 minutos.
El mcm de 8, 10 y 12 es 120 minutos. Esto significa que cada 120 minutos, los tres ciclistas habrán dado una vuelta completa a la pista al mismo tiempo.
Para saber cuántas vueltas han dado cada uno de los ciclistas hasta el momento en que pasan a la vez por la línea de partida, dividimos el tiempo total transcurrido por el mcm de los tiempos de vuelta.
Supongamos que han transcurrido T minutos. Entonces:
- El ciclista que tarda 8 minutos en dar una vuelta habrá dado [tex]\frac{T}{8}[/tex] vueltas.
- El ciclista que tarda 10 minutos en dar una vuelta habrá dado [tex]\( \frac{T}{10} \)[/tex] vueltas.
- El ciclista que tarda 12 minutos en dar una vuelta habrá dado [tex]\( \frac{T}{12} \)[/tex] vueltas.
Para que los tres ciclistas pasen al mismo tiempo por la línea de partida, el número de vueltas que han dado debe ser el mismo. Por lo tanto, igualamos las tres expresiones:
[tex]\[ \frac{T}{8} = \frac{T}{10} = \frac{T}{12} \][/tex]
Luego, encontramos el valor común de T para que esta ecuación sea verdadera. En este caso, T debe ser igual a 120 minutos (el mcm de los tiempos de vuelta).
Entonces, cada ciclista habrá dado:
- El ciclista que tarda 8 minutos en dar una vuelta habrá dado [tex]\( \frac{120}{8} = 15 \)[/tex] vueltas.
- El ciclista que tarda 10 minutos en dar una vuelta habrá dado [tex]\( \frac{120}{10} = 12 \)[/tex] vueltas.
- El ciclista que tarda 12 minutos en dar una vuelta habrá dado [tex]\( \frac{120}{12} = 10 \)[/tex] vueltas.
Por lo tanto, cada ciclista habrá dado 15 vueltas, 12 vueltas y 10 vueltas, respectivamente, hasta el momento en que pasan a la vez por la línea de partida.
