Respuesta:
∛9
Explicación paso a paso:
Para calcular la tercera proporcional de una proporción geométrica continua, necesitamos utilizar la fórmula para encontrar el término general de una progresión geométrica.
Dado que se dice que el producto de los cuatro términos es 6561 y el primer término es 9 veces el último término, podemos representar la proporción geométrica como a, a/r, a/r^2, a/r^3. Aquí, a es el primer término y r es la razón común de la progresión geométrica.
Según la información dada, tenemos las siguientes ecuaciones:
a * (a/r) * (a/r^2) * (a/r^3) = 6561
a = 9 * (a/r^3)
Podemos resolver estas ecuaciones simultáneamente para encontrar los valores de a y r.
Reemplazamos la segunda ecuación en la primera:
(9 * (a/r^3)) * (9 * (a/r^3) / r) * (9 * (a/r^3) / r^2) * (9 * (a/r^3) / r^3) = 6561
Simplificamos los términos y resolvemos la ecuación:
(9^4 * a^4) / (r^9) = 6561
Dividimos ambos lados de la ecuación por 6561:
(9^4 * a^4) / (6561 * r^9) = 1
Simplificamos nuevamente:
(3^8 * a^4) / ((3^4)^3 * r^9) = 1
Cancelamos los términos comunes:
a^4 / r^9 = 1
Tomamos la raíz novena de ambos lados de la ecuación:
(a / r^3) = 1
Sabemos que el primer término, a, es 9 veces el último término, a/r^3. Entonces:
9 * (a / r^3) = 1
Despejamos a/r^3:
a / r^3 = 1/9
Multiplicamos ambos lados por r^3:
a = r^3/9
Ahora que tenemos el valor de a en función de r, podemos sustituir este valor en la segunda ecuación original para encontrar r:
r^3/9 = 9 * (r^3/9) / r^3
r^3/9 = 1
r^3 = 9
Aplicamos raíz cúbica a ambos lados:
r = ∛9
Por lo tanto, la razón común de la proporción geométrica es la raíz cúbica de 9, que es aproximadamente 2.08.
Finalmente, para encontrar la tercera proporcional, multiplicamos el segundo término por la razón común:
a/r * r = a
Sustituimos los valores conocidos:
(9 * (a/r^3)) * (∛9) = a
Reemplazamos a = r^3/9:
(9 * (∛9 * r^3/9)) * (∛9) = r^3/9
Simplificamos y resolvemos la ecuación:
r^3 = (∛9)^2
r^3 = 3^2
r^3 = 9
Aplicamos raíz cúbica a ambos lados:
r = ∛9
Por lo tanto, la tercera proporcional en la progresión geométrica es aproximadamente 2.08.
