Respuesta:
Para calcular la probabilidad de que un estudiante conteste correctamente 12 o más preguntas de un total de 20 en un examen de verdadero o falso, y de manera similar, 24 o más preguntas de un total de 40, usaremos la distribución binomial. En un examen de verdadero o falso, cada pregunta tiene solo dos respuestas posibles y asumiremos que el estudiante adivina cada respuesta, por lo que la probabilidad de acertar una pregunta es de 0.5.
La fórmula de la distribución binomial es la siguiente:
\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \]
donde:
- \( n \) es el número total de intentos (preguntas),
- \( k \) es el número de éxitos deseados (respuestas correctas),
- \( p \) es la probabilidad de éxito en un solo intento,
- \( \binom{n}{k} \) es el coeficiente binomial, que calcula cuántas maneras diferentes se pueden obtener \( k \) éxitos en \( n \) intentos.
### Parte a) 12 o más correctas de 20 preguntas
Queremos calcular la probabilidad de que \( X \), el número de respuestas correctas, sea 12 o más.
\[ P(X \geq 12) = \sum_{k=12}^{20} \binom{20}{k} (0.5)^k (0.5)^{20-k} \]
Podemos simplificar usando la propiedad \( (0.5)^k (0.5)^{20-k} = (0.5)^{20} \):
\[ P(X \geq 12) = (0.5)^{20} \sum_{k=12}^{20} \binom{20}{k} \]
Esta suma puede ser calculada usando una calculadora científica o un software estadístico.
### Parte b) 24 o más correctas de 40 preguntas
Similar a la parte a), calcularemos:
\[ P(X \geq 24) = \sum_{k=24}^{40} \binom{40}{k} (0.5)^k (0.5)^{40-k} \]
Nuevamente, simplificamos:
\[ P(X \geq 24) = (0.5)^{40} \sum_{k=24}^{40} \binom{40}{k} \]
### Calculando con una calculadora o software
Para obtener valores exactos para estas sumas, sería más práctico usar una calculadora de distribución binomial, como la que ofrecen algunos software estadísticos, o una calculadora científica con capacidades estadísticas. Estas herramientas te permitirán obtener la probabilidad deseada sin calcular manualmente cada término.
Por ejemplo, usando Python con la biblioteca SciPy, podrías calcular estas probabilidades así:
```python
from scipy.stats import binom
# Probabilidad de acertar 12 o más de 20
prob_a = 1 - binom.cdf(11, 20, 0.5)
# Probabilidad de acertar 24 o más de 40
prob_b = 1 - binom.cdf(23, 40, 0.5)
print(f"Probabilidad de acertar 12 o más de 20: {prob_a:.4f}")
print(f"Probabilidad de acertar 24 o más de 40: {prob_b:.4f}")
```
Estos cálculos proporcionarán las probabilidades exactas para cada escenario.
