Respuesta :
Para resolver este problema, podemos usar las ecuaciones de movimiento del lanzamiento de proyectiles. Primero, identifiquemos los datos proporcionados:
- La velocidad inicial horizontal (componente \(v_x\)) es de 10 m/s.
- La altura alcanzada por el proyectil (altura de salto) es de 0.6 m.
- La aceleración debida a la gravedad es de aproximadamente \(9.81 \, \text{m/s}^2\) hacia abajo.
Podemos utilizar la ecuación de energía mecánica para encontrar la velocidad inicial vertical (\(v_y\)) del atleta en el punto más alto de su salto:
\[ v_y^2 = u^2 + 2gh \]
Donde:
- \( v_y \) es la velocidad vertical en el punto más alto (lo que queremos encontrar).
- \( u \) es la velocidad inicial vertical, que es 0 ya que el atleta comienza desde el suelo.
- \( g \) es la aceleración debida a la gravedad (9.81 m/s²).
- \( h \) es la altura alcanzada por el proyectil (0.6 m).
Entonces:
\[ v_y^2 = 0 + 2 \cdot 9.81 \cdot 0.6 \]
\[ v_y^2 = 11.772 \]
\[ v_y = \sqrt{11.772} \]
\[ v_y \approx 3.43 \, \text{m/s} \]
Ahora, podemos encontrar la magnitud de la velocidad total (\(v\)) del atleta en el punto más alto de su salto utilizando el teorema de Pitágoras, ya que la velocidad horizontal y vertical son perpendiculares:
\[ v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} \]
\[ v = \sqrt{(10)^2 + (3.43)^2} \]
\[ v = \sqrt{100 + 11.772} \]
\[ v \approx \sqrt{111.772} \]
\[ v \approx 10.58 \, \text{m/s} \]
Ahora, para encontrar el ángulo de lanzamiento, podemos usar la trigonometría. El ángulo de lanzamiento (\(\theta\)) se puede calcular como:
\[ \theta = \arctan{\frac{v_y}{v_x}} \]
\[ \theta = \arctan{\frac{3.43}{10}} \]
\[ \theta \approx \arctan{0.343} \]
\[ \theta \approx 18.8^\circ \]
Finalmente, para encontrar el alcance máximo (\(R\)), podemos usar la fórmula para el alcance horizontal del movimiento del proyectil:
\[ R = \frac{v^2 \sin{2\theta}}{g} \]
\[ R = \frac{(10.58)^2 \sin{2(18.8^\circ)}}{9.81} \]
\[ R = \frac{111.76 \times \sin{37.6^\circ}}{9.81} \]
\[ R = \frac{111.76 \times 0.601}{9.81} \]
\[ R = \frac{67.16}{9.81} \]
\[ R \approx 6.83 \, \text{m} \]
Entonces, el atleta alcanza una velocidad de aproximadamente \(10.58 \, \text{m/s}\) en un ángulo de lanzamiento de aproximadamente \(18.8^\circ\) y alcanza un alcance máximo de aproximadamente \(6.83 \, \text{m}\).
- La velocidad inicial horizontal (componente \(v_x\)) es de 10 m/s.
- La altura alcanzada por el proyectil (altura de salto) es de 0.6 m.
- La aceleración debida a la gravedad es de aproximadamente \(9.81 \, \text{m/s}^2\) hacia abajo.
Podemos utilizar la ecuación de energía mecánica para encontrar la velocidad inicial vertical (\(v_y\)) del atleta en el punto más alto de su salto:
\[ v_y^2 = u^2 + 2gh \]
Donde:
- \( v_y \) es la velocidad vertical en el punto más alto (lo que queremos encontrar).
- \( u \) es la velocidad inicial vertical, que es 0 ya que el atleta comienza desde el suelo.
- \( g \) es la aceleración debida a la gravedad (9.81 m/s²).
- \( h \) es la altura alcanzada por el proyectil (0.6 m).
Entonces:
\[ v_y^2 = 0 + 2 \cdot 9.81 \cdot 0.6 \]
\[ v_y^2 = 11.772 \]
\[ v_y = \sqrt{11.772} \]
\[ v_y \approx 3.43 \, \text{m/s} \]
Ahora, podemos encontrar la magnitud de la velocidad total (\(v\)) del atleta en el punto más alto de su salto utilizando el teorema de Pitágoras, ya que la velocidad horizontal y vertical son perpendiculares:
\[ v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} \]
\[ v = \sqrt{(10)^2 + (3.43)^2} \]
\[ v = \sqrt{100 + 11.772} \]
\[ v \approx \sqrt{111.772} \]
\[ v \approx 10.58 \, \text{m/s} \]
Ahora, para encontrar el ángulo de lanzamiento, podemos usar la trigonometría. El ángulo de lanzamiento (\(\theta\)) se puede calcular como:
\[ \theta = \arctan{\frac{v_y}{v_x}} \]
\[ \theta = \arctan{\frac{3.43}{10}} \]
\[ \theta \approx \arctan{0.343} \]
\[ \theta \approx 18.8^\circ \]
Finalmente, para encontrar el alcance máximo (\(R\)), podemos usar la fórmula para el alcance horizontal del movimiento del proyectil:
\[ R = \frac{v^2 \sin{2\theta}}{g} \]
\[ R = \frac{(10.58)^2 \sin{2(18.8^\circ)}}{9.81} \]
\[ R = \frac{111.76 \times \sin{37.6^\circ}}{9.81} \]
\[ R = \frac{111.76 \times 0.601}{9.81} \]
\[ R = \frac{67.16}{9.81} \]
\[ R \approx 6.83 \, \text{m} \]
Entonces, el atleta alcanza una velocidad de aproximadamente \(10.58 \, \text{m/s}\) en un ángulo de lanzamiento de aproximadamente \(18.8^\circ\) y alcanza un alcance máximo de aproximadamente \(6.83 \, \text{m}\).