Respuesta :
La ecuación de la recta que pasa por los puntos o pares ordenados A(6,4) y B(7,2) expresada en la forma punto pendiente está dada por:
Para el punto A (6,4):
[tex]\large\boxed {\bold { y-4 =-2 \cdot (x-6) }}[/tex]
Para el punto B (7,2):
[tex]\large\boxed {\bold { y-2 =-2 \cdot (x-7) }}[/tex]
Los puntos dados pertenecientes a la recta son:
[tex]\bold{A\ (6,4)}[/tex]
[tex]\bold{B\ (7,2)}[/tex]
Para determinar la ecuación de la recta que pasa por dos puntos dados debemos primero hallar la pendiente
Por tanto dados dos puntos pertenecientes a una recta con coordenadas:
[tex]\bold { A \ (x_{1},y_{1} ) \ y \ \ B \ (x_{2},y_{2} )}[/tex]
Definimos a la pendiente m de una recta como el cociente entre la diferencia de las ordenadas y la diferencia de las abscisas de los puntos conocidos pertenecientes a la recta
Lo que resulta en
[tex]\large\boxed{\bold {m = \frac{ y_{2} -y_{1} }{ x_{2} -x_{1} } }}[/tex]
Determinamos la pendiente de la recta que pasa por los puntos A(6,4) y B(7,2)
[tex]\bold { A \ (6,4) \ ( x_{1},y_{1}) \ \ \ B \ ( 7,2) \ ( x_{2},y_{2}) }[/tex]
Hallamos la pendiente
[tex]\large\boxed{\bold {m = \frac{ y_{2} -y_{1} }{ x_{2} -x_{1} } }}[/tex]
[tex]\large\textsf{Reemplazamos }[/tex]
[tex]\boxed{\bold {m = \frac{ 2 - (4) }{7 - (6) } }}[/tex]
[tex]\boxed{\bold {m = \frac{ 2-4 }{ 7-6 } }}[/tex]
[tex]\boxed{\bold {m = \frac{ -2 }{1 } }}[/tex]
[tex]\boxed{\bold {m = -\frac{ 2 }{1 } }}[/tex]
[tex]\textsf{Dividiendo}[/tex]
[tex]\large\boxed{\bold {m = -2 }}[/tex]
La pendiente m es igual a -2
Empleamos la ecuación en la forma punto pendiente para hallar la ecuación de la recta solicitada
Cuya forma está dada por:
[tex]\large\boxed {\bold { y - y_{1} = m\ (x - x_{1} )}}[/tex]
Para el punto A(6,4) perteneciente a la recta:
Donde x1 e y1 son las coordenadas de un punto cualesquiera conocido perteneciente a la recta y donde m = -2 es la pendiente. Como conocemos el punto A (6,4) tomaremos x1 = 6 e y1 = 4
Por tanto:
[tex]\large\textsf{Tomamos el valor de la pendiente } \bold {m=-2 } \\\large\textsf{y el punto dado } \bold {A \ (6,4 )}[/tex]
[tex]\large\textsf{Reemplazando } \bold { x_{1} \ y \ y_{1} } \\\large\textsf{En la forma punto pendiente: }[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { y - y_{1} = m\ (x - x_{1} )}}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { y - (4) = -2 \cdot (x- (6)) }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { y-4 =-2 \cdot (x-6) }}[/tex]
Repetimos el procedimiento para el punto B(7,2) perteneciente a la recta
Donde x1 e y1 son las coordenadas de un punto cualesquiera conocido perteneciente a la recta y donde m = -2 es la pendiente. Como conocemos el punto B (7,2) tomaremos x1 = 7 e y1 = 2
Por tanto:
[tex]\large\textsf{Tomamos el valor de la pendiente } \bold {m=-2 } \\\large\textsf{y el punto dado } \bold {B \ (7,2 )}[/tex]
[tex]\large\textsf{Reemplazando } \bold { x_{1} \ y \ y_{1} } \\\large\textsf{En la forma punto pendiente: }[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { y - y_{1} = m\ (x - x_{1} )}}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { y - (2) = -2 \cdot (x- (7)) }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { y-2 =-2 \cdot (x-7) }}[/tex]
Por tanto
La ecuación de la recta que pasa por los puntos dados en la forma punto pendiente está dada por:
Para el punto A (6,4):
[tex]\large\boxed {\bold { y-4 =-2 \cdot (x-6) }}[/tex]
Para el punto B (7,2):
[tex]\large\boxed {\bold { y-2 =-2 \cdot (x-7) }}[/tex]
Verificamos las ecuaciones obtenidas:
Reescribimos la ecuación de la recta en la forma pendiente punto de intercepción o pendiente ordenada al origen
También llamada forma principal o explícita
Que responde a la forma:
[tex]\large\boxed {\bold { y = mx +b }}[/tex]
Donde m es la pendiente y b la intersección en Y
a) Tomamos la ecuación hallada para el punto A (6,4)
Resolvemos para y
[tex]\boxed {\bold { y-4 =-2 \cdot (x-6) }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { y-4 =-2x+12 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { y =-2x +12+4}}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { y =-2x+16 }}[/tex]
b) Tomamos la ecuación hallada para el punto B (7,2)
Resolvemos para y
[tex]\boxed {\bold { y-2 =-2 \cdot (x-7) }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { y-2=-2x+14 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { y =-2x +14+2 }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { y =-2x+16 }}[/tex]
Habiendo hallado la ecuación de la recta solicitada en la forma explícita
Dado que se arriba a la misma ecuación de la recta expresada en la forma explícita se concluye que las ecuaciones que se han determinado en la forma punto pendiente para cada uno de los dos puntos conocidos pertenecientes a la recta son correctas
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