Respuesta:
el área del octágono regular es aproximadamente \(41.808 \, cm^2\).
Explicación paso a paso:
Para encontrar el área de un octágono regular con lados de longitud 4 cm, primero necesitamos encontrar el área de un triángulo isósceles dentro del octágono y luego multiplicarlo por 8, ya que hay 8 triángulos en un octágono regular.
Cada triángulo isósceles se puede dividir en dos triángulos rectángulos congruentes. La base de cada triángulo rectángulo es la mitad de uno de los lados del octágono (2 cm), y la altura es la apotema del octágono.
La apotema de un octágono regular se puede encontrar utilizando la fórmula:
\[ apotema = \frac{l}{2} \cdot \cot\left(\frac{\pi}{n}\right) \]
Donde \(l\) es la longitud de un lado del octágono y \(n\) es el número de lados (8 en este caso).
\[ apotema = \frac{4}{2} \cdot \cot\left(\frac{\pi}{8}\right) \]
\[ apotema = 2 \cdot \cot\left(\frac{\pi}{8}\right) \]
\[ apotema \approx 2 \cdot \cot\left(22.5^\circ\right) \]
\[ apotema \approx 2 \cdot 2.613 \]
\[ apotema \approx 5.226 \]
Entonces, el área de cada triángulo isósceles es:
\[ A_{triángulo} = \frac{1}{2} \cdot base \cdot altura \]
\[ A_{triángulo} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 5.226 \]
\[ A_{triángulo} \approx 5.226 \, cm^2 \]
Como hay 8 triángulos en un octágono regular, el área total del octágono es:
\[ A_{octágono} = 8 \cdot A_{triángulo} \]
\[ A_{octágono} = 8 \cdot 5.226 \, cm^2 \]
\[ A_{octágono} = 41.808 \, cm^2 \]
Entonces, el área del octágono regular es aproximadamente \(41.808 \, cm^2\).
