Respuesta:
El tiempo necesario para que una inversión de $5000 crezca a $8000 con una tasa de interés del 7.5% anual, capitalizado continuamente, se puede encontrar utilizando la fórmula de interés compuesto continuo:
Explicación paso a paso:
La fórmula para el crecimiento de una inversión con interés compuesto continuo es:
[tex]\[A = P \cdot e^{rt}\][/tex]
Donde:
- A es el monto final de la inversión (\$8000).
- P es el monto inicial de la inversión (\$5000).
- e es la base del logaritmo natural, aproximadamente igual a 2.71828.
- r es la tasa de interés anual (0.075 en este caso).
- t es el tiempo en años que se desea encontrar.
Despejando t de la fórmula, obtenemos:
[tex]\[t = \frac{\ln\left(\frac{A}{P}\right)}{r}\][/tex]
Sustituyendo los valores conocidos:
[tex]\[t = \frac{\ln\left(\frac{8000}{5000}\right)}{0.075}\][/tex]
[tex]\[t = \frac{\ln(1.6)}{0.075}\][/tex]
[tex]\[t = \frac{0.4700}{0.075}\][/tex]
[tex]\[t = 6.2666...\][/tex]
Por lo tanto, el tiempo necesario para que una inversión de \$5000 crezca a \$8000 con una tasa de interés del 7.5% anual, capitalizado continuamente, es aproximadamente 6.27 años.
