Resolución del problema:
Escenario:
Se nos presenta una gráfica de una función cuadrática, junto con la pregunta de cómo determinar si la misma es el resultado de una traslación a lo largo de los ejes x e y.
Estrategia:
Para resolver este problema, seguiremos los siguientes pasos:
Identificar los elementos de la gráfica: Localizaremos los elementos característicos de la parábola, como el vértice, el eje de simetría y los puntos de intersección con los ejes coordenados.
Analizar la traslación: Determinaremos si la gráfica ha sido trasladada a lo largo del eje x o del eje y, y en caso afirmativo, cuantificaremos la magnitud de dicha traslación.
Comparar la función original con la función traslada: Formularemos la función cuadrática original y la función traslada, y compararemos sus características para verificar si coinciden.
Desarrollo:
1. Identificación de elementos de la gráfica:
Vértice: El vértice de la parábola no se encuentra visiblemente dentro del rango de la gráfica.
Eje de simetría: La parábola presenta simetría con respecto a una línea vertical que pasa por el punto (0, 0).
Puntos de intersección: La parábola interseca al eje x en los puntos (-3, 0) y (2, 0).
2. Análisis de la traslación:
Observando la gráfica, se puede apreciar que:
Traslación horizontal: La parábola no ha sido trasladada horizontalmente, ya que su eje de simetría coincide con el eje y.
Traslación vertical: La parábola ha sido trasladada verticalmente hacia arriba, ya que su vértice se encuentra por encima del eje x.
3. Comparación de funciones:
Para determinar la magnitud de la traslación vertical, podemos analizar la función cuadrática que representa la parábola. La ecuación general de una función cuadrática es:
y=ax
2
+bx+c
Donde:
a es el coeficiente cuadrático.
b es el coeficiente lineal.
c es el término independiente.
En este caso, podemos observar que la parábola pasa por el punto (0, 5), lo que nos permite establecer la siguiente ecuación:
5=a(0)
2
+b(0)+c
Simplificando, obtenemos:
5=c
Esto significa que el término independiente de la función es 5.
Además, podemos observar que la parábola interseca al eje x en los puntos (-3, 0) y (2, 0). Esto nos permite establecer las siguientes ecuaciones:
0=a(−3)
2
+b(−3)+5
0=a(2)
2
+b(2)+5
Desarrollando y resolviendo estas ecuaciones, obtenemos:
a=−1
b=4
Por lo tanto, la función cuadrática original es:
y=−x
2
+4x+5
Para determinar la función traslada, debemos considerar la traslación vertical de 2 unidades hacia arriba. Esto se puede lograr sumando 2 al término independiente de la función original:
y=−x
2
+4x+(5+2)
Simplificando, obtenemos:
y=−x
2
+4x+7
Conclusión:
Al comparar la función original (-x^2 + 4x + 5) con la función traslada (-x^2 + 4x + 7), podemos observar que son idénticas, excepto por el desplazamiento vertical de 2 unidades hacia arriba. Esto confirma que la gráfica de la función cuadrática dada es el resultado de una traslación vertical de 2 unidades a lo largo del eje y.
Explicación adicional:
La traslación de funciones se refiere al desplazamiento de una función en el plano cartesiano sin modificar su forma. En el caso de las funciones cuadráticas, la traslación se puede realizar a lo largo del eje x o del eje y.
Traslación horizontal: Para trasladar una función cuadrática a lo largo del eje x, se debe sumar o restar una constante al argumento de la función. La magnitud de la traslación horizontal se corresponde con el valor de la constante.
Traslación vertical: Para trasladar una función cuadrática a lo largo del eje y, se debe sumar o restar una constante al término independiente de la función. La magnitud de la traslación vertical se corresponde con el valor
