Para determinar si Batman alcanza el bote o si necesita nadar hacia él, podemos usar las ecuaciones de movimiento de un proyectil bajo la influencia de la gravedad. Las ecuaciones de movimiento horizontal y vertical son: 1. Movimiento horizontal: \[ x = v_0 \cdot t \cdot \cos(\theta) \] 2. Movimiento vertical: \[ y = h_0 + v_0 \cdot t \cdot \sin(\theta) - \frac{1}{2} g \cdot t^2 \] Donde: - \( x \) es la posición horizontal. - \( y \) es la posición vertical. - \( h_0 \) es la altura inicial (20 m). - \( v_0 \) es la rapidez inicial (5 m/s). - \( \theta \) es el ángulo de elevación inicial (30°). - \( g \) es la aceleración debido a la gravedad (9.81 m/s²). - \( t \) es el tiempo. Para resolver, primero encontraremos el tiempo que le toma a Batman alcanzar el bote. Después, verificaremos si está por encima o por debajo del nivel del bote en ese momento. 1. Encontrar el tiempo de vuelo \( t \): \[ y = h_0 + v_0 \cdot t \cdot \sin(\theta) - \frac{1}{2} g \cdot t^2 \] \[ 0 = 20 + 5 \cdot t \cdot \sin(30°) - \frac{1}{2} \cdot 9.81 \cdot t^2 \] Resolviendo esta ecuación cuadrática para \( t \): \[ -4.905 \cdot t^2 + 2.5 \cdot t - 20 = 0 \] Usando la fórmula cuadrática \( t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \), donde \( a = -4.905 \), \( b = 2.5 \), \( c = -20 \), obtenemos dos valores de \( t \), pero solo nos interesa el valor positivo. 2. Encontrar la posición horizontal cuando \( t \) es el tiempo de vuelo \( t_f \): \[ x_f = v_0 \cdot t_f \cdot \cos(\theta) \] 3. Verificar si \( x_f \) es mayor que la distancia al bote \( R \). Voy a calcular estos valores. Primero, calculemos el tiempo de vuelo \( t_f \) utilizando la fórmula cuadrática: \[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Donde \( a = -4.905 \), \( b = 2.5 \), \( c = -20 \). \[ t = \frac{-2.5 \pm \sqrt{(2.5)^2 - 4(-4.905)(-20)}}{2(-4.905)} \] \[ t = \frac{-2.5 \pm \sqrt{6.25 - 392.4}}{-9.81} \] \[ t = \frac{-2.5 \pm \sqrt{-386.15}}{-9.81} \] Como el discriminante es negativo, esto significa que Batman no alcanzará el bote y caerá al agua antes de llegar. Por lo tanto, no es necesario calcular \( t_f \), y la respuesta es que Batman debe nadar hacia el bote.​