Respuesta:
Para encontrar las dimensiones del tanque que minimizan el costo total, primero vamos a encontrar la ecuación que relaciona x y y para determinar la función de costo total C en términos de una sola variable.
Dado que el tanque tiene base cuadrada, el volumen V del tanque será:
V = x^2 * y
Y el costo total C en función de x y y es:
C = 5(x^2 + 4xy) + 10xy
Reemplazaremos V en la función de costo C:
C = 5(x^2 + 4xy) + 10xy
C = 5x^2 + 20xy + 10xy
C = 5x^2 + 30xy
Ahora que la función de costo total C está expresada en términos de x y y, podemos proceder a minimizarla. Lo haremos encontrando las derivadas parciales de C con respecto a x y y, y luego igualaremos esas derivadas a cero para encontrar los valores críticos.
Derivada parcial de C con respecto a x:
∂C/∂x = 10x + 30y
Derivada parcial de C con respecto a y:
∂C/∂y = 30x
Igualando a cero las derivadas parciales y resolviendo:
10x + 30y = 0
30x = 0
De la segunda ecuación, x = 0. Pero como el tanque debe tener un tamaño positivo, x no puede ser igual a cero.
Entonces, de la primera ecuación:
10x + 30y = 0
10x = -30y
x = -3y
Sustituyendo este valor de x en la ecuación V = x^2 * y:
(-3y)^2 * y = 9y^3
Por lo tanto, las dimensiones del tanque que minimizan el costo son:
Ancho (lado de la base cuadrada): 3 ft
Profundidad: 9 ft
Estas dimensiones del tanque resultan en un costo total mínimo.
Explicación paso a paso:
√
