Respuesta :
Para encontrar el volumen del sólido descrito, podemos utilizar el método de secciones transversales. Dado que cada sección transversal perpendicular al eje x es un semicírculo, podemos integrar para encontrar el volumen.
Primero, necesitamos determinar la función que describe la región R acotada por \(y = \sqrt{x}\) y \(y = x^2\). La intersección de estas dos curvas nos dará los límites de integración.
Para encontrar el volumen, integramos el área de cada sección transversal a lo largo del eje x, desde el límite inferior \(x_1\) hasta el límite superior \(x_2\).
El área de cada sección transversal es el área de un semicírculo, que es \(\frac{\pi r^2}{2}\), donde \(r\) es el radio del semicírculo.
Entonces, la integral que representa el volumen del sólido es:
\[V = \int_{x_1}^{x_2} \frac{\pi (\sqrt{x})^2}{2} - \frac{\pi (x^2)^2}{2} \, dx\]
Donde \(x_1\) y \(x_2\) son los puntos de intersección de las curvas \(y = \sqrt{x}\) y \(y = x^2\).
Una vez que determinemos los límites de integración y realicemos la integración, obtendremos el volumen del sólido.
Respuesta:
Explicación:Para calcular el volumen del sólido descrito, podemos utilizar la fórmula del método de cortes transversales:
Volumen = Integral(de 0 a b) de A(x) \* dx
donde A(x) es el área de la sección transversal perpendicular al eje x en cada punto de la región R.
Dada la descripción del sólido, las secciones transversales perpendiculares al eje x son semicírculos cuyo diámetro se extiende a lo largo de R, acotado por = √ y = ^2.
En primer lugar, debemos expresar el radio r(x) del semicírculo en función de x:
r(x) = (1/2) \* diámetro = (1/2) \* (sqrt(x) - x^2)
Ahora, encontremos el área A(x) de la sección transversal:
A(x) = (1/2) \* π \* r(x)^2 = (1/2) \* π \* (1/4) \* (sqrt(x) - x^2)^2
El volumen del sólido se calcula integrando A(x) con respecto a x en la región R:
Volumen = Integral(de 0 a 1) de [(1/2) \* π \* (1/4) \* (sqrt(x) - x^2)^2] \* dx
Para resolver esta integral, puede ser necesario utilizar métodos numéricos o herramientas como la regla de Simpson o el método de Newton-Cotes.
Una vez calculada la integral, el resultado dará el volumen del sólido.