a. Para encontrar la expresión que representa la utilidad, primero necesitamos determinar los ingresos totales (R) y luego restarle los costos totales (Ct). Los ingresos totales se calculan multiplicando el precio por la cantidad demandada, es decir R = p * q.
Sustituyendo p en la expresión de ingresos totales:
R = (360 - 6q) * q
R = 360q - 6q^2
La expresión que representa la utilidad (U) será la diferencia entre los ingresos totales y los costos totales:
U = R - Ct
U = (360q - 6q^2) - (120q + 400)
U = 360q - 6q^2 - 120q - 400
U = -6q^2 + 240q - 400
Entonces, la expresión que representa la utilidad es U = -6q^2 + 240q - 400.
b. Para determinar el nivel de producción para que la utilidad sea al menos s/1400, primero igualamos la expresión de la utilidad a 1400:
-6q^2 + 240q - 400 = 1400
-6q^2 + 240q - 400 - 1400 = 0
-6q^2 + 240q - 1800 = 0
Dividimos toda la ecuación por -6 para simplificarla:
q^2 - 40q + 300 = 0
Factorizamos la ecuación cuadrática:
(q - 30)(q - 10) = 0
Esto nos da dos soluciones para q: q = 30 y q = 10. Sin embargo, para garantizar una utilidad mayor o igual a 1400, necesitamos una producción mayor a 30 unidades.
Por lo tanto, el nivel de producción requerido para obtener una utilidad de al menos s/1400 es de 30 unidades.