Respuesta :
Para determinar la ecuación de la circunferencia con centro en (-2,7) y que pasa por el punto (6,-3), primero necesitamos encontrar el radio de la circunferencia, que es la distancia entre el centro y un punto en la circunferencia.
El radio se calcula con la fórmula:
\[r = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\]
Donde:
(x₁, y₁) = centro = (-2,7)
(x₂, y₂) = punto en la circunferencia = (6,-3)
Sustituyendo los valores:
\[r = \sqrt{(6 - (-2))^2 + (-3 - 7)^2} = \sqrt{8^2 + (-10)^2} = \sqrt{64 + 100} = \sqrt{164}\]
Por lo tanto, el radio \(r\) es \(\sqrt{164}\).
La ecuación de la circunferencia en su forma ordinaria es:
\[(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\]
Donde (h,k) es el centro de la circunferencia y \(r\) es el radio.
Sustituyendo los valores conocidos:
\[(x - (-2))^2 + (y - 7)^2 = (\sqrt{164})^2\]
\[(x + 2)^2 + (y - 7)^2 = 164\]
Y la ecuación de la circunferencia en su forma general es:
\[x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0\]
Donde el centro es (-g, -f) y el radio al cuadrado es \(g^2 + f^2 - c\).
Sustituyendo los valores conocidos:
\[x^2 + y^2 + 2(-2)x + 2(7)y + c = 0\]
\[x^2 + y^2 - 4x + 14y + c = 0\]
Entonces, la ecuación de la circunferencia en forma ordinaria es \((x + 2)^2 + (y - 7)^2 = 164\) y en forma general es \(x^2 + y^2 - 4x + 14y + c = 0\).