Respuesta:
\(E = 21 - \sqrt{3}\)
Explicación paso a paso:
Para resolver \(x^2 + \frac{1}{x^2} = 3\) y luego encontrar \(E = x^5 + \frac{1}{x^5}\), podemos usar el resultado de \(x^2 + \frac{1}{x^2}\) y aplicar algunas identidades de suma de potencias de \(x\).
Dado que \(x^2 + \frac{1}{x^2} = 3\), podemos elevar al cuadrado ambos lados para obtener:
\[(x^2 + \frac{1}{x^2})^2 = 3^2\]
\[x^4 + 2 + \frac{1}{x^4} = 9\]
\[x^4 + \frac{1}{x^4} = 9 - 2\]
\[x^4 + \frac{1}{x^4} = 7\]
Ahora, podemos usar la fórmula de Newton para las potencias de \(x\), que establece que \(x^n + \frac{1}{x^n} = (x^{n-1} + \frac{1}{x^{n-1}}) \cdot (x + \frac{1}{x}) - (x^{n-2} + \frac{1}{x^{n-2}})\).
Para \(n = 5\), tenemos:
\[E = x^5 + \frac{1}{x^5} = (x^4 + \frac{1}{x^4}) \cdot (x + \frac{1}{x}) - (x^3 + \frac{1}{x^3})\]
Usando los valores que ya conocemos:
\[E = (7 \cdot 3) - (x^3 + \frac{1}{x^3})\]
Entonces, ahora necesitamos encontrar \(x^3 + \frac{1}{x^3}\). Podemos usar nuevamente la fórmula de Newton:
\[x^3 + \frac{1}{x^3} = (x^2 + \frac{1}{x^2}) \cdot (x + \frac{1}{x}) - (x + \frac{1}{x})\]
Usando los valores que ya conocemos:
\[x^3 + \frac{1}{x^3} = (3 \cdot 3) - (x + \frac{1}{x})\]
Y como ya sabemos que \(x^2 + \frac{1}{x^2} = 3\) y \(x + \frac{1}{x} = \sqrt{x^2 + \frac{1}{x^2}} = \sqrt{3}\):
\[E = (7 \cdot 3) - (\sqrt{3})\]
\[E = 21 - \sqrt{3}\]
Entonces, \(E = 21 - \sqrt{3}\).
