Respuesta:
Explicación paso a paso:Para resolver la ecuación dada, vamos a aplicar la regla del producto en la integral del lado derecho:
\[
\int_{0}^{t} f(u) \, du = t - \int_{0}^{t} f(u)e^u \, du
\]
La regla del producto de la integral nos dice que \(\int f(u) g(u) \, du = f(u)G(u) - \int F(u)g(u) \, du\), donde \(F(u)\) es la función primitiva de \(f(u)\) y \(G(u)\) es la función primitiva de \(g(u)\).
Comparando con la ecuación dada, podemos identificar \(g(u) = e^u\), por lo tanto, \(G(u) = e^u\). Así que aplicando la regla del producto, obtenemos:
\[
\int_{0}^{t} f(u) \, du = t - \left[ f(u)e^u \right]_{0}^{t} + \int_{0}^{t} e^u f'(u) \, du
\]
Simplificando, obtenemos:
\[
\int_{0}^{t} f(u) \, du = t - \left( f(t)e^t - f(0)e^0 \right) + \int_{0}^{t} e^u f'(u) \, du
\]
Dado que \(e^0 = 1\) y \(f(0) = 0\) (ya que \(f(0)\) es la constante de integración), podemos simplificar más:
\[
\int_{0}^{t} f(u) \, du = t - f(t)e^t + \int_{0}^{t} e^u f'(u) \, du
\]
Esta ecuación relaciona la integral de \(f(u)\) en el intervalo \([0, t]\) con la integral de \(f(u)e^u\) en el mismo intervalo.
