Respuesta :
La ecuación de la recta L2 -paralela a L1- y que pasa por el punto P(-5,3) expresada en la forma general está dada por:
[tex]\huge\boxed {\bold { 2x -y+13 = 0 }}[/tex]
Debemos primero hallar la pendiente de la recta AB -a la que llamamos L1- que pasa por los puntos A(-2,-6) y B(4,6)
Donde denotamos a la pendiente de la recta L1 que pasa por estos puntos como [tex]\bold { m_{1} }[/tex]
Por tanto dados dos puntos pertenecientes a una recta con coordenadas:
[tex]\bold { A \ (x_{1},y_{1} ) \ y \ \ B \ (x_{2},y_{2} )}[/tex]
Definimos a la pendiente m de una recta como el cociente entre la diferencia de las ordenadas y la diferencia de las abscisas de los puntos conocidos pertenecientes a la recta
Lo que resulta en
[tex]\large\boxed{\bold {m = \frac{ y_{2} -y_{1} }{ x_{2} -x_{1} } }}[/tex]
Determinamos la pendiente de la recta AB -L1- que pasa por los puntos A(-2,-6) y B(4,6)
[tex]\bold {A \ (-2,-6) \ ( x_{1},y_{1}) \ \ \ B \ ( 4,6) \ ( x_{2},y_{2}) }[/tex]
Hallamos la pendiente de la recta L1 (AB)
[tex]\large\boxed{\bold {m_{1} = \frac{ y_{2} -y_{1} }{ x_{2} -x_{1} } }}[/tex]
[tex]\large\textsf{Reemplazamos }[/tex]
[tex]\boxed{\bold { m_{1} = \frac{ 6 - (-6) }{4 - (-2) } }}[/tex]
[tex]\boxed{\bold {m_{1} = \frac{6+6 }{4+2 } }}[/tex]
[tex]\boxed{\bold {m_{1} = \frac{ 12 }{6 } }}[/tex]
[tex]\textsf{Dividiendo }[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { m_{1} = 2 }}[/tex]
La pendiente de L1 -que pasa por los puntos dados A y B- es igual a 2
Determinamos la pendiente de una recta paralela
Denotaremos a la pendiente de la recta paralela [tex]\bold { m_{2} }[/tex]
Para que las rectas sean paralelas basta con que tengan la misma pendiente
Luego:
[tex]\large\boxed{\bold {m_{2} = m_{1} }}[/tex]
[tex]\large\boxed{\bold {m_{2} = 2 }}[/tex]
Concluyendo que cualquier recta paralela a L1 debe tener la misma pendiente, luego la pendiente de cualquier recta paralela a L1 será m = 2
Hallamos la recta L2 paralela a la recta AB -L1- que pasa por el punto P(-5,3)
Empleamos la ecuación en la forma punto pendiente para hallar la ecuación de la recta paralela solicitada
Cuya forma está dada por:
[tex]\large\boxed {\bold { y - y_{1} = m\ (x - x_{1} )}}[/tex]
Donde x1 e y1 son las coordenadas de un punto cualesquiera conocido perteneciente a la recta y donde m es la pendiente. Como conocemos el punto P (-5,3) tomaremos x1 = -5 e y1 = 3
Dado que la recta debe ser paralela a la dada su pendiente m será igual a 2 [tex]\bold{m_{2} = 2 }[/tex]
Por tanto:
[tex]\large\textsf{Tomamos el valor de la pendiente } \bold { 2 } \\\large\textsf{y el punto dado } \bold { P (-5,3) }[/tex]
[tex]\large\textsf{Reemplazando } \bold { x_{1} \ y \ y_{1} } \\\large\textsf{En la forma punto pendiente: }[/tex]
[tex]\boxed {\bold { y - (3) = 2 \ (x - (-5) )}}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { y - 3 = 2 \ (x +5)}}[/tex]
Reescribimos la ecuación de la recta L2 -paralela a la recta AB -L1- que pasa por el punto P(-5,3) en la forma pendiente punto de intercepción o pendiente ordenada a origen
También llamada forma principal o explícita
Que responde a la forma:
[tex]\large\boxed {\bold { y = mx +b }}[/tex]
Donde m es la pendiente y b la intersección en Y
[tex]\boxed {\bold { y - 3 = 2 \ (x +5)}}[/tex]
Resolvemos para y
[tex]\boxed {\bold { y - 3 = 2x+10}}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { y= 2x+10 +3}}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { y= 2x+13 }}[/tex]
Habiendo hallado la recta L2 paralela a AB -L1- y que pasa por el punto P(-5,3) en la forma explícita
Reescribimos la ecuación de la recta paralela solicitada en la forma general de la recta
También llamada forma implícita
Que responde a la forma:
[tex]\large\boxed {\bold { Ax +By + C = 0 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { y= 2x+13}}[/tex]
[tex]\textsf{Igualamos a cero }[/tex]
[tex]\boxed {\bold { 2x+13 -y= 0}}[/tex]
[tex]\large\textsf{Obteniendo }[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { 2x -y+13 = 0 }}[/tex]
Habiendo hallado la ecuación de la recta paralela solicitada en la forma general o implícita
Siendo las dos rectas paralelas
Se agrega gráfico como archivo adjunto
