vamos a descomponerla en dos desigualdades separadas y luego resolver cada una por separado.
Primero, vamos a resolver la desigualdad ||2x-6|-2| ≤ ||x-3|-4|.
Descomponiendo en dos desigualdades separadas:
1) 2x-6-2 ≤ |x-3|-4
2) 2x-6-2 ≥ -(x-3)-4
Ahora resolvamos cada una por separado.
Para la primera desigualdad:
2x-6-2 ≤ |x-3|-4
Simplificando:
2x - 8 ≤ |x - 3| - 4
Sumamos 8 a ambos lados:
2x ≤ |x - 3| + 4
Ahora, para resolver la desigualdad |x - 3|, vamos a considerar dos casos:
1) Cuando x - 3 es mayor o igual que cero (es decir, x >= 3):
En este caso, la desigualdad se convierte en:
2x ≤ (x - 3) + 4
Simplificando:
2x ≤ x + 1
Restamos x de ambos lados:
x ≤ 1
2) Cuando x - 3 es menor que cero (es decir, x < 3):
En este caso, la desigualdad se convierte en:
2x ≤ -(x - 3) + 4
Simplificando:
2x ≤ -x + 7
Sumamos x a ambos lados:
3x ≤7
Dividimos ambos lados por 3 (recordando que no debemos cambiar el signo de la desigualdad al dividir por un número positivo):
x≤7/3
Por lo tanto, combinando los resultados de ambos casos, el conjunto solución para esta desigualdad es:
(-∞,1] U (7/3, ∞)
Para la segunda desigualdad:
Ahora vamos a resolver la segunda desigualdad:
2)
2x-6-2 ≥ -(x-3)-4
Simplificando:
2x -8 ≥ -(x - 3) -4
Sumamos 8 a ambos lados:
2x ≥ -(x - 3) +4
Restamos -(x - 3) de ambos lados:
2x + (x - 3) ≥4
Simplificamos:
3x - 3 ≥4
Sumamos tres a ambos lados:
3X≥7
Dividimos por tres y recordando que no cambiamos el signo de la desigualdad al dividir por un número positivo obtenemos:
X≥7/3
Entonces, el conjunto solución para esta desigualdad es: [7/3, ∞)
Por lo tanto, combinando los resultados de ambas desigualdades, el conjunto solución para la desigualdad original ||2x-6|-2| ≤ ||x-3|-4| es:
(-∞,1] U [7/3, ∞)
