Respuesta :
La ecuación de la recta L2 -paralela a L1- y que contiene al punto P(-2,7) expresada en la forma general está dada por:
[tex]\huge\boxed {\bold { 3x+5y -29= 0 }}[/tex]
Sea la recta L1:
[tex]\large\boxed {\bold { -3x+1=5y }}[/tex]
Se solicita hallar una recta L2 -paralela a la dada- y que pase por el punto P(-2,7)
Reescribimos la ecuación en la forma pendiente punto de intercepción o pendiente ordenada al origen
También llamada forma principal o explícita
Que responde a la forma:
[tex]\large\boxed {\bold { y = mx +b }}[/tex]
Donde m es la pendiente y b la intersección en Y
[tex]\boxed {\bold { -3x+1=5y }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { -3x+1-5y=0 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { -3x-5y+1=0 }}[/tex]
[tex]\textsf{Multiplicamos la ecuaci\'on por -1 }[/tex]
[tex]\boxed {\bold { 3x+5y-1=0 }}[/tex]
Resolvemos para y
[tex]\boxed {\bold {5y=-3x+1 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { \frac{\not5y}{\not5} =-\frac{3}{5}x +\frac{1}{5} }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { y =- \frac{3}{5} x +\frac{1}{5} }}[/tex]
Donde denotamos a la pendiente de la recta dada como [tex]\bold { m_{1} }[/tex]
Por tanto:
[tex]\large\boxed {\bold { m_{1} = -\frac{3}{5} }}[/tex]
La pendiente de la recta dada L1 es igual a -3/5
Determinamos la pendiente de una recta paralela
Denotaremos a la pendiente de la recta paralela [tex]\bold { m_{2} }[/tex]
Para que las rectas sean paralelas basta con que tengan la misma pendiente
Luego:
[tex]\large\boxed{\bold {m_{2} = m_{1} }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { m_{2} =- \frac{3}{5} }}[/tex]
Concluyendo que cualquier recta paralela a la dada - L1- debe tener la misma pendiente, luego la pendiente de cualquier recta paralela a L1 será m = -3/5
Hallamos la recta L2 -paralela a la recta L1- que pasa por el punto o par ordenado P(-2,7)
Empleamos la ecuación en la forma punto pendiente para hallar la ecuación de la recta paralela solicitada
Cuya forma está dada por:
[tex]\large\boxed {\bold { y - y_{1} = m\ (x - x_{1} )}}[/tex]
Donde x1 e y1 son las coordenadas de un punto cualesquiera conocido perteneciente a la recta y donde m es la pendiente. Como conocemos el punto P (-2,7) tomaremos x1 = -2 e y1 = 7
Dado que la recta debe ser paralela a la dada su pendiente m será igual a -3/5
[tex]\bold{m_{2} = -\frac{3}{5} }[/tex]
Por tanto:
[tex]\large\textsf{Tomamos el valor de la pendiente } \bold {- \frac{3}{5} } \\\large\textsf{y el punto dado } \bold { P (-2,7) }[/tex]
[tex]\large\textsf{Reemplazando } \bold { x_{1} \ y \ y_{1} } \\\large\textsf{En la forma punto pendiente: }[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { y - y_{1} = m\ (x - x_{1} )}}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { y - (7) = -\frac{3}{5} \cdot (x- (-2)) }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { y-7 =-\frac{3}{5} \cdot (x+2) }}[/tex]
Reescribimos la ecuación de la recta L2 -paralela a la dada L1- que pasa por el punto P(-2,7) en la forma pendiente punto de intercepción o pendiente ordenada al origen
También llamada forma principal o explícita
Que responde a la forma:
[tex]\large\boxed {\bold { y = mx +b }}[/tex]
Donde m es la pendiente y b la intersección en Y
[tex]\boxed {\bold { y-7 =-\frac{3}{5} \cdot (x+2) }}[/tex]
Resolvemos para y
[tex]\boxed {\bold { y-7 =-\frac{3}{5} x -\frac{6}{5} }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { y =-\frac{3}{5} x -\frac{6}{5} +7 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { y =-\frac{3}{5} x -\frac{6}{5} +7 \cdot \frac{5}{5} }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { y =-\frac{3}{5} x -\frac{6}{5} + \frac{35}{5} }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { y =-\frac{3}{5} x + \frac{29}{5} }}[/tex]
Habiendo hallado la recta L2 paralela a la dada -L1- y que pasa por el punto P(-2,7) en la forma explícita
Reescribimos la ecuación de la recta paralela solicitada en la forma general de la recta
También llamada forma implícita
Que responde a la forma:
[tex]\large\boxed {\bold { Ax +By + C = 0 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { y =-\frac{3}{5} x + \frac{29}{5} }}[/tex]
[tex]\textsf{Igualamos a cero }[/tex]
[tex]\boxed {\bold { y +\frac{3}{5} x - \frac{29}{5} =0 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { \frac{3}{5} x +y - \frac{29}{5} =0 }}[/tex]
Para obtener una ecuación general o implícita sin fracciones:
Multiplicamos la ecuación por 5
[tex]\boxed {\bold { \frac{3}{5} x\cdot 5 +y\cdot 5 -\frac{29}{5} \cdot 5 = 0 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { \frac{3}{\not5} x\cdot\not 5 +y\cdot 5 -\frac{29}{\not5} \cdot \not 5 = 0 }}[/tex]
[tex]\large\textsf{Obteniendo }[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { 3x+5y -29= 0 }}[/tex]
Habiendo hallado la ecuación de la recta paralela solicitada en la forma general o implícita
Siendo las dos rectas paralelas
Se agrega gráfico como archivo adjunto
