Respuesta:
Para determinar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \( f(x) = 4(1 - x^2)^2 \) en un punto dado \( x = a \), primero necesitamos encontrar la pendiente de la recta tangente en ese punto.
1. Derivamos la función \( f(x) \) para encontrar la pendiente de la tangente en cualquier punto \( x \):
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}[4(1 - x^2)^2] \]
Usamos la regla de la cadena y la regla del producto en la derivada:
\[ f'(x) = 4 \cdot 2(1 - x^2) \cdot (-2x) \]
\[ f'(x) = -16x(1 - x^2) \]
2. Para encontrar la pendiente de la tangente en un punto \( x = a \), sustituimos \( a \) en la derivada:
\[ m = f'(a) = -16a(1 - a^2) \]
3. Luego, necesitamos encontrar la ordenada al origen (\( b \)) de la recta tangente. Para eso, usamos la ecuación de la recta:
\[ f(a) = 4(1 - a^2)^2 \]
4. Finalmente, con \( m \) y \( b \), podemos escribir la ecuación de la recta tangente en forma punto-pendiente:
\[ y - f(a) = m(x - a) \]
Ahora, tenemos todos los ingredientes para encontrar la ecuación de la recta tangente.
