Respuesta :
La ecuación de la recta L2 -perpendicular a L1- y que contiene al punto P(-2,7) expresada en la forma general está dada por:
[tex]\huge\boxed {\bold { 5x-2y+24= 0 }}[/tex]
Sea la recta L1:
[tex]\large\boxed {\bold { 5y+2x +1 = 0 }}[/tex]
Se solicita hallar una recta L2 -perpendicular a la dada- y que pase por el punto P(-2,7)
Reescribimos la ecuación en la forma pendiente punto de intercepción o pendiente ordenada al origen
También llamada forma principal o explícita
Que responde a la forma:
[tex]\large\boxed {\bold { y = mx +b }}[/tex]
Donde m es la pendiente y b la intersección en Y
[tex]\boxed {\bold { 5y+2x +1 = 0 }}[/tex]
Resolvemos para y
[tex]\boxed {\bold { 5y = -2x-1 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { \frac{\not5}{\not5} y =- \frac{2}{5}x - \frac{1}{5} }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { y =-\frac{2}{5} x-\frac{1}{5} }}[/tex]
Donde denotamos a la pendiente de la recta dada como [tex]\bold { m_{1} }[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { m_{1} = -\frac{2}{5} }}[/tex]
La pendiente de la recta dada -L1- es igual a -2/5
Determinamos la pendiente de una recta perpendicular
Denotaremos a la pendiente de la recta perpendicular [tex]\bold { m_{2} }[/tex]
La pendiente de una recta perpendicular debe ser inversa y cambiada de signo
En otras palabras debe tener una pendiente que sea el recíproco negativo de la pendiente original [tex]\bold { m_{1} }[/tex]
[tex]\large\boxed{\bold {m_{2} =- \frac{ 1 }{ m_{1} } }}[/tex]
[tex]\boxed{\bold {m_{2} =- \frac{ 1 }{ -\frac{2}{5} } }}[/tex]
[tex]\boxed{\bold {m_{2} =- 1 \cdot- \frac{5}{2} }}[/tex]
[tex]\large\boxed{\bold {m_{2} = \frac{5}{2} }}[/tex]
Concluyendo que cualquier recta perpendicular a la dada -L1- debe tener una pendiente cuyo valor será m = 5/2
Hallamos la recta L2 perpendicular a la dada -L1- que pasa por el punto P(-2,7)
Empleamos la ecuación en la forma punto pendiente para hallar la ecuación de la recta perpendicular solicitada
Cuya forma está dada por:
[tex]\large\boxed {\bold { y - y_{1} = m\ (x - x_{1} )}}[/tex]
Donde x1 e y1 son las coordenadas de un punto cualesquiera conocido perteneciente a la recta y donde m es la pendiente. Como conocemos el punto P (-2,7) tomaremos x1 = -2 e y1 = 7
Dado que la recta debe ser perpendicular a la dada su pendiente m será igual a 5/2
[tex]\bold{m_{2} = \frac{5}{2} }[/tex]
Por tanto:
[tex]\large\textsf{Tomamos el valor de la pendiente } \bold { \frac{5}{2} } \\\large\textsf{y el punto dado } \bold {P (-2,7) }[/tex]
[tex]\large\textsf{Reemplazando } \bold { x_{1} \ y \ y_{1} } \\\large\textsf{En la forma punto pendiente: }[/tex]
[tex]\boxed {\bold { y - (7) = \frac{5}{2} \cdot (x - (-2) )}}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { y-7 = \frac{5}{2} \cdot (x+2 )}}[/tex]
Reescribimos la ecuación de la recta L2 -perpendicular a la dada L1- que pasa por el punto P(-2,7) en la forma pendiente punto de intercepción o pendiente ordenada al origen
También llamada forma principal o explícita
Que responde a la forma:
[tex]\large\boxed {\bold { y = mx +b }}[/tex]
Donde m es la pendiente y b la intersección en Y
[tex]\boxed {\bold { y-7 = \frac{5}{2} \cdot (x+2 )}}[/tex]
Resolvemos para y
[tex]\boxed {\bold { y-7 = \frac{5}{2} x + \frac{10}{2} }}[/tex]
[tex]\textsf{Dividiendo }[/tex]
[tex]\boxed {\bold { y-7 = \frac{5}{2} x + 5 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { y = \frac{5}{2} x + 5+7 }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { y = \frac{5}{2}x+12 }}[/tex]
Habiendo hallado la recta L2 perpendicular a la dada -L1- y que pasa por el punto P(-2,7) en la forma explícita
Reescribimos la ecuación de la recta perpendicular solicitada en la forma general de la recta
También llamada forma implícita
Que responde a la forma:
[tex]\large\boxed {\bold { Ax +By + C = 0 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { y = \frac{5}{2}x+12 }}[/tex]
[tex]\textsf{Igualamos a cero }[/tex]
[tex]\boxed {\bold { \frac{5}{2} x +12 -y =0 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { \frac{5}{2} x -y +12 = 0 }}[/tex]
Para obtener una ecuación general o implícita sin fracciones:
Multiplicamos la ecuación por 2
[tex]\boxed {\bold { \frac{5}{2} x\cdot\ 2 -y\cdot 2 +12 \cdot 2 = 0 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { \frac{5}{\not2} x\cdot\not 2 -y\cdot 2 + 12 \cdot 2 = 0 }}[/tex]
[tex]\large\textsf{Obteniendo }[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { 5x-2y+24= 0 }}[/tex]
Habiendo hallado la ecuación de la recta perpendicular solicitada en la forma general o implícita
Siendo las dos rectas perpendiculares
Se agrega gráfico como archivo adjunto
