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¡Claro! Vamos a resolver cada una de las ecuaciones paso a paso:
1. **Ecuación Exponencial:**
Dada la ecuación \(9^x - 2^y - 3 + 4 = 0\), primero simplifiquemos:
\[9^x - 2^y + 1 = 0\]
Ahora, expresaremos \(9^x\) y \(2^y\) en términos de una sola base (por ejemplo, \(3\)):
\[3^{2x} - 3^y + 1 = 0\]
Igualamos a cero y resolvemos para \(x\):
\[3^{2x} = 3^y - 1\]
\[2x = \log_3(3^y - 1)\]
\[x = \frac{\log_3(3^y - 1)}{2}\]
Por lo tanto, el conjunto solución para la ecuación exponencial es:
\[x = \frac{\log_3(3^y - 1)}{2}\]
2. **Ecuación Logarítmica:**
Dada la ecuación \(\log(4 - 1) - \log(y - 2) = \log 5\), primero combinamos los logaritmos:
\[\log\left(\frac{4 - 1}{y - 2}\right) = \log 5\]
Igualamos los argumentos dentro del logaritmo:
\[\frac{4 - 1}{y - 2} = 5\]
\[4 - 1 = 5(y - 2)\]
\[3 = 5y - 10\]
\[5y = 13\]
\[y = \frac{13}{5}\]
Por lo tanto, el conjunto solución para la ecuación logarítmica es:
\[y = \frac{13}{5}\]
3. **Ecuación Trigonométrica:**
Dada la ecuación \(2\cos^2(z) + \cos(z) - 1 = 0\), primero notamos que \(\cos^2(z) = 1 - \sin^2(z)\). Sustituimos:
\[2(1 - \sin^2(z)) + \cos(z) - 1 = 0\]
\[2 - 2\sin^2(z) + \cos(z) - 1 = 0\]
\[1 - 2\sin^2(z) + \cos(z) = 0\]
Usando la identidad \(\cos(z) = 1 - 2\sin^2(z)\):
\[1 - 2\sin^2(z) + (1 - 2\sin^2(z)) = 0\]
\[2 - 4\sin^2(z) = 0\]
\[2\sin^2(z) = 2\]
\[\sin^2(z) = 1\]
\[\sin(z) = \pm 1\]
Las soluciones para \(\sin(z) = 1\) son \(z = \frac{\pi}{3}\) y \(z = \pi\).
Las soluciones para \(\sin(z) = -1\) son \(z = \frac{5\pi}{3}\).
Por lo tanto, el conjunto solución para la ecuación trigonométrica es:
\[z = \frac{\pi}{3}, \pi, \frac{5\pi}{3}\]
Espero que esto te ayude