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Para demostrar que la relación ~ definida en ℝ³- {(0, 0, 0)} es de equivalencia, necesitamos verificar tres propiedades: reflexividad, simetría y transitividad.
1. Reflexividad: Para todo (a, b, c) en ℝ³- {(0, 0, 0)}, debemos mostrar que (a, b, c) ~ (a, b, c). Esto significa que existe un r ∈ ℝ* tal que (a, b, c) = r(a, b, c). Claramente, podemos elegir r = 1, por lo que la reflexividad se cumple.
2. Simetría: Si (a, b, c) ~ (k, m, n), entonces debe ser cierto que (k, m, n) ~ (a, b, c). Esto implica que si existe un r ∈ ℝ* tal que (a, b, c) = r(k, m, n), entonces también existe un s ∈ ℝ* tal que (k, m, n) = s(a, b, c). Esto es verdadero ya que podemos elegir s = 1/r. Por lo tanto, la simetría se cumple.
3. Transitividad: Si (a, b, c) ~ (k, m, n) y (k, m, n) ~ (p, q, r), entonces debe ser cierto que (a, b, c) ~ (p, q, r). Esto significa que si existen r, s ∈ ℝ* tales que (a, b, c) = r(k, m, n) y (k, m, n) = s(p, q, r), entonces podemos concluir que (a, b, c) = (rs)(p, q, r). Dado que el producto de dos números reales no nulos es también un número real no nulo, la transitividad se cumple.
Por lo tanto, la relación ~ es de equivalencia en ℝ³- {(0, 0, 0)}.
Ahora, para describir la clase [(a, b, c)], necesitamos encontrar todos los elementos que están relacionados con (a, b, c) bajo la relación ~. Esto se puede hacer encontrando todos los puntos (k, m, n) tales que (k, m, n) ~ (a, b, c), es decir, aquellos puntos que satisfacen la condición (a, b, c) = r(k, m, n) para algún r ≠ 0.
En resumen, la clase [(a, b, c)] consiste en todos los puntos (k, m, n) tales que (k, m, n) = (r/a, r/b, r/c) para algún r ≠ 0. Esta clase representa todos los puntos que son "equivalentes" a (a, b, c) bajo la relación ~.