Respuesta:
Para resolver la ecuación trigonométrica \( \tan(x-30^\circ) \cot(2x-40^\circ) = 1 \), primero debemos recordar algunas identidades trigonométricas básicas, entre ellas, que \( \tan \theta = \frac{1}{\cot \theta} \). Esto implica que podemos reescribir la ecuación como \( \tan(x-30^\circ) \frac{1}{\tan(2x-40^\circ)} = 1 \), lo cual simplifica a \( \tan(x-30^\circ) = \tan(2x-40^\circ) \).
Ahora, aplicamos la propiedad de que si \( \tan A = \tan B \), entonces \( A = B + k\pi \), donde \( k \) es cualquier número entero, porque la tangente tiene un periodo de \( \pi \).
Entonces, tenemos que:
\[ x - 30^\circ = 2x - 40^\circ + k\pi \]
Ahora, resolvamos para \( x \):
\[ x - 2x = -40^\circ + 30^\circ + k\pi \]
\[ -x = -10^\circ + k\pi \]
\[ x = 10^\circ - k\pi \]
Dado que estamos trabajando generalmente en grados, y \( \pi \) radianes equivalen a \( 180^\circ \), convertimos \( k\pi \) a grados para mantener la consistencia:
\[ x = 10^\circ - k(180^\circ) \]
Esta es la solución general para \( x \) en términos de \( k \), donde \( k \) es cualquier número entero. Indica que hay infinitas soluciones basadas en el valor de \( k \) elegido, reflejando los múltiples puntos donde las funciones tangente y cotangente iguales se intersectan a lo largo de su periodo repetitivo.
