Respuesta:
Para simplificar la expresión, primero expandimos los términos dentro del paréntesis y luego aplicamos las reglas de los exponentes y la división. Veamos:
\[ (3xm + ny2m) \div (x2m - n) \times [(xyn - m)^{-1} \times (9x2m - ny3n)^2] \]
Expandimos el término dentro del paréntesis:
\[ (3xm + ny2m) \div (x2m - n) \times [x^{-2m}y^{-1}n^{1} - m^{-1}] \times (81x^{4m} - 18x^{2m}ny^{3n} + m^{2}) \]
Ahora simplificamos los términos con exponentes negativos y las divisiones:
\[ \frac{3xm + ny2m}{x2m - n} \times [x^{-2m}y^{-1}n^{1} - m^{-1}] \times (81x^{4m} - 18x^{2m}ny^{3n} + m^{2}) \]
\[ (3xm + ny2m) \times [x^{-2m}y^{-1}n^{1} - m^{-1}] \times (81x^{4m} - 18x^{2m}ny^{3n} + m^{2}) \div (x2m - n) \]
Ahora distribuimos los términos:
\[ (3xm \times x^{-2m}y^{-1}n^{1} - 3xm \times m^{-1} + ny2m \times x^{-2m}y^{-1}n^{1} - ny2m \times m^{-1}) \times (81x^{4m} - 18x^{2m}ny^{3n} + m^{2}) \]
\[ (3x^{0}y^{0}n - \frac{3xm}{m} + ny^{0}x^{-2m}n^{1} - \frac{ny2m}{m}) \times (81x^{4m} - 18x^{2m}ny^{3n} + m^{2}) \]
\[ (3n - 3xm + nx^{-2m} - ny2m) \times (81x^{4m} - 18x^{2m}ny^{3n} + m^{2}) \]
Finalmente, multiplicamos los términos:
\[ 3n \times 81x^{4m} - 3n \times 18x^{2m}ny^{3n} + 3n \times m^{2} - 3xm \times 81x^{4m} + 3xm \times 18x^{2m}ny^{3n} - 3xm \times m^{2} + nx^{-2m} \times 81x^{4m} - nx^{-2m} \times 18x^{2m}ny^{3n} + nx^{-2m} \times m^{2} - ny2m \times 81x^{4m} + ny2m \times 18x^{2m}ny^{3n} - ny2m \times m^{2} \]
Simplificamos los términos semejantes:
\[ 243n x^{4m} - 54n x^{2m}ny^{3n} + 3nm^{2} - 243xm^{2} - 54xm^{2}ny^{3n} + 3xm^{3} + 81nx^{2m} - 18nx^{2m}ny^{3n} + nm^{2} - 243x^{2m}ny^{2m} + 54x^{2m}ny^{4m} - 3x^{2m}n^{2} \]
Y eso es todo.
