Respuesta :
En la granja se tienen 19 pollos y 11 conejos
Establecemos las ecuaciones que modelan la situación del problema
Llamamos variable "x" a la cantidad de pollos y variable "y" a la cantidad de conejos
Donde sabemos que
El total de animales en la granja es de 30
Donde el total de patas es de 82
Teniendo un pollo 2 patas
Teniendo un conejo 4 patas
Estamos en condiciones de plantear un sistema de ecuaciones que satisfaga al problema
El sistema de ecuaciones:
Sumamos la cantidad de pollos y de conejos para establecer la primera ecuación y la igualamos a la cantidad de anímales que hay en total en la granja
[tex]\large\boxed {\bold {x + y = 30 }}[/tex] [tex]\large\textsf{Ecuaci\'on 1 }[/tex]
Luego como un pollo tiene 2 patas y un conejo tiene 4 patas planteamos la segunda ecuación, y la igualamos a la cantidad de patas que hay en total en la granja
[tex]\large\boxed {\bold {2x + 4y = 82 }}[/tex] [tex]\large\textsf{Ecuaci\'on 2 }[/tex]
Luego
Despejamos y en la primera ecuación
En
[tex]\large\textsf{Ecuaci\'on 1}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold {x + y = 30 }}[/tex]
Despejamos y
[tex]\large\boxed {\bold {y =30 -x }}[/tex] [tex]\large\textsf{Ecuaci\'on 3}[/tex]
Resolvemos el sistema de ecuaciones
Reemplazando
[tex]\large\textsf{Ecuaci\'on 3 }[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold {y =30 -x }}[/tex]
[tex]\large\textsf {En Ecuaci\'on 2 }[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold {2x + 4y =82 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {2x + 4\ (30-x) = 82 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {2x + 120 -4x = 82 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {2x -4x + 120 = 82 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {-2x + 120 = 82 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {-2x = 82 -120 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { -2x = -38 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { x = \frac{-38}{-2} }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { x = 19 }}[/tex]
Luego el número de pollos que se tienen en la granja es de 19
Hallamos la cantidad de conejos
Reemplazando el valor hallado de x en
[tex]\large\textsf{Ecuaci\'on 3 }[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold {y =30 -x }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {y =30 -19 }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold {y =11 }}[/tex]
Por tanto la cantidad de conejos que se tienen en la granja es de 11
Verificación
Reemplazamos los valores hallados para x e y en el sistema de ecuaciones
[tex]\large\textsf{Ecuaci\'on 1 }[/tex]
[tex]\boxed {\bold {x + y = 30 }}[/tex]
[tex]\bold {19 \ pollos + 11 \ conejos = 30 \ animales }[/tex]
[tex]\boxed {\bold {30 \ animales = 30 \ animales }}[/tex]
[tex]\textsf{Se cumple la igualdad }[/tex]
[tex]\large\textsf{Ecuaci\'on 2 }[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold {2x + 4y =82 }}[/tex]
[tex]\bold { 2 \ patas \cdot 19 \ pollos \ + 4 \ patas \cdot 11 \ conejos = 82 \ patas}[/tex]
[tex]\bold {38 \ patas + 44 \ patas = 82 \ patas }[/tex]
[tex]\boxed {\bold {82 \ patas =82 \ patas }}[/tex]
[tex]\textsf{Se cumple la igualdad }[/tex]
Para finalizar si este problema se hubiese resuelto de manera gráfica, se trazarían las rectas que componen el sistema de ecuaciones con dos incógnitas que modelan el problema. Encontrándose la solución al problema en el punto que las 2 rectas se intersecan
Se agrega la representación gráfica sólo a fines ilustrativos
