Respuesta:
Para hallar el dominio y rango de la función dada, primero vamos a simplificarla.
Para x perteneciente al intervalo (-8, -3):
f(x) = 8x + 2
Para x perteneciente al intervalo (-3, 1):
f(x) = √x + 3 - 5
Para x perteneciente al intervalo [1, 9):
f(x) = 4 - |x - 2|
Ahora vamos a encontrar el dominio y rango de cada una de las funciones simplificadas:
1. Para la función f1(x) = 8x + 2, el dominio es x perteneciente a (-8, -3) ya que solo está definida en ese intervalo. El rango es el conjunto de valores que puede tomar f(x), que en este caso es todos los números que resulten al sustituir un x del intervalo dado.
2. Para la función f2(x) = √x + 3 - 5, el dominio es x perteneciente a (-3, 1) ya que la raíz cuadrada no puede ser de un número negativo. El rango son todos los números reales.
3. Para la función f3(x) = 4 - |x - 2|, el dominio es x perteneciente a [1, 9] ya que está definida en ese intervalo. El rango son todos los números reales, ya que el valor absoluto siempre dará un número positivo.
Por lo tanto, el dominio de la función original es la unión de los dominios de cada una de las funciones simplificadas, es decir, x perteneciente a (-8, -3) U (-3, 1] U [1, 9]. Y el rango es el conjunto de todos los números reales.
Respuesta:
Para encontrar el dominio y el rango de la función dada, debemos analizar cada parte de la función por separado según los intervalos especificados.
Para -8 <x <-3 :
En este intervalo, la función se define como f(x) = 8x + 2.
El dominio en este intervalo son todos los números reales entre -8 y -3, excluyendo -8 e incluyendo -3.
Por tanto, el dominio en este intervalo es (-8, -3] .
Para encontrar el rango, necesitamos analizar cómo se comporta la función en este intervalo. Dado que es una función lineal con pendiente positiva (8), aumentará continuamente a medida que x se mueva de -8 a -3. Por lo tanto, el rango en este intervalo son todos los números reales mayores o iguales a f(-8) y menores o iguales a f(-3).
Para -3 <x <1 :
En este intervalo, la función se define como f(x) = √(x + 3) - 5.
El dominio en este intervalo son todos los números reales entre -3 y 1, excluyendo ambos puntos finales.
Por tanto, el dominio en este intervalo es (-3, 1) .
Para determinar el rango, consideramos que √(x + 3) tiene un valor mínimo de 0 en x = -3. A medida que x aumenta de -3 a 1, √(x + 3) también aumenta. Entonces, el rango en este intervalo son todos los números reales mayores o iguales a f(-3) y menores que f(1).
Para 1 ≤ x < 9 :
En este intervalo, la función se define como f(x) = |4 − |x| − 2|.
El dominio en este intervalo son todos los números reales entre 1 y 9, incluido el 1 pero excluyendo el 9.
Por tanto, el dominio en este intervalo es [1, 9) .
Para encontrar el rango aquí, necesitamos entender cómo |4 − |x| − 2| se comporta. Esta expresión se simplifica a |2 − |x||. Como x oscila entre 1 y justo por debajo de 9, |x| variará de 1 a justo debajo de 9. Por lo tanto, |2 − |x|| variará de |-1| = 1 a |-7| = 7. Por lo tanto, el rango en este intervalo cubre valores entre [1,7].
Por lo tanto:
Dominio: (-8,-3] ∪ (-3,1) ∪ [1,9)
Rango: [-5,f(-3)] ∪ (f(-3),f(1)) ∪ [f(1),7]
