Respuesta:
Para resolver este problema, primero debemos comprender las relaciones trigonométricas dadas:
En un triángulo rectángulo ABC, con el ángulo B = 90°, se cumple:
3cosC = tgA
Además, se nos pide calcular P = 3cos^2A
Paso 1: Despejar cosC de la relación 3cosC = tgA
cosC = tgA/3
Paso 2: Utilizando la identidad trigonométrica tg(A) = sen(A)/cos(A), podemos reemplazar tgA:
cosC = (sen(A)/cos(A))/3
cosC = sen(A)/(3cos(A))
Paso 3: Elevar al cuadrado ambos lados de la igualdad
cos^2(C) = (sen(A)/(3cos(A)))^2
Paso 4: Aplicar la identidad trigonométrica sen^2(A) + cos^2(A) = 1
cos^2(C) = (sen^2(A))/(9cos^2(A))
cos^2(C) = (1 - cos^2(A))/(9cos^2(A))
Paso 5: Sustituir cos^2(C) por (tgA/3)^2, de acuerdo con la relación inicial
(tgA/3)^2 = (1 - cos^2(A))/(9cos^2(A))
Paso 6: Multiplicar ambos lados por 9cos^2(A)
9cos^2(A)(tgA/3)^2 = 1 - cos^2(A)
Paso 7: Factorizar tgA/3
3^2cos^2(A)tg^2(A) = 1 - cos^2(A)
Paso 8: Utilizar la identidad tg^2(A) = sen^2(A)/cos^2(A)
9cos^2(A)(sen^2(A)/cos^2(A)) = 1 - cos^2(A)
9sen^2(A) = 1 - cos^2(A)
Paso 9: Aplicar nuevamente sen^2(A) + cos^2(A) = 1
9sen^2(A) = 2 - (sen^2(A) + cos^2(A))
10sen^2(A) = 2
sen^2(A) = 1/5
Paso 10: Por lo tanto, cos^2(A) = 4/5
Finalmente, P = 3cos^2(A) = 3(4/5) = 12/5
En conclusión, el valor de P = 3cos^2(A) es 12/5.
