Para calcular la probabilidad de que exactamente 4 de los 10 trabajadores no paguen impuestos, podemos usar la distribución binomial. La fórmula para la distribución binomial es:
\[ P(X = k) = \binom{n}{k} \times p^k \times (1-p)^{n-k} \]
Donde:
- \( P(X = k) \) es la probabilidad de que ocurran exactamente \( k \) éxitos.
- \( n \) es el número total de ensayos o trabajadores (en este caso, 10).
- \( k \) es el número de éxitos que estamos buscando (en este caso, 4).
- \( p \) es la probabilidad de éxito en un solo ensayo (en este caso, la probabilidad de que un trabajador no pague impuestos).
Dado que el 20% de los trabajadores están exentos de pagar impuestos, la probabilidad de que un trabajador no pague impuestos es \( p = 0.20 \).
Sustituyendo estos valores en la fórmula, obtenemos:
\[ P(X = 4) = \binom{10}{4} \times (0.20)^4 \times (1-0.20)^{10-4} \]
Calculando los valores:
\[ \binom{10}{4} = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210 \]
\[ (0.20)^4 = 0.0016 \]
\[ (1-0.20)^{10-4} = (0.80)^6 \approx 0.2621 \]
Entonces, la probabilidad de que exactamente 4 de los 10 trabajadores no paguen impuestos es:
\[ P(X = 4) = 210 \times 0.0016 \times 0.2621 \approx 0.1109 \]
Por lo tanto, la probabilidad es aproximadamente 0.1109 o 11.09%.
