Respuesta:
Para responder a estas preguntas, primero necesitamos encontrar el punto donde la función alcanza su valor máximo, ya que ese punto corresponderá a la profundidad máxima alcanzada por el nadador. Luego, podemos calcular la distancia a la que emerge del agua respecto al punto de la superficie donde se sumergió.
1. **Profundidad máxima:**
La función \( y = 2x^2 + x - 3 \) representa la trayectoria del nadador dentro del agua. Para encontrar la profundidad máxima, podemos utilizar la fórmula del vértice de una parábola, que es \( x = -\frac{b}{2a} \).
En este caso, \( a = 2 \) y \( b = 1 \).
\[ x = -\frac{1}{2(2)} = -\frac{1}{4} \]
Ahora, sustituimos este valor de \( x \) en la ecuación original para encontrar la profundidad máxima:
\[ y = 2\left(-\frac{1}{4}\right)^2 + \left(-\frac{1}{4}\right) - 3 \]
\[ y = 2\left(\frac{1}{16}\right) - \frac{1}{4} - 3 \]
\[ y = \frac{1}{8} - \frac{1}{4} - 3 \]
\[ y = \frac{1}{8} - \frac{2}{8} - 3 \]
\[ y = -\frac{15}{8} \]
Por lo tanto, la profundidad máxima a la que llega el nadador es de \( -\frac{15}{8} \) unidades.
2. **Distancia a la que emerge del agua:**
Para encontrar la distancia a la que emerge del agua respecto al punto de la superficie donde se sumergió, necesitamos encontrar el valor de \( y \) cuando \( x = 0 \) (punto de la superficie) y cuando \( x \) es el valor donde se encuentra la profundidad máxima.
Cuando \( x = 0 \):
\[ y = 2(0)^2 + (0) - 3 \]
\[ y = -3 \]
Entonces, emerge del agua a una distancia de 3 unidades respecto del punto de la superficie donde se sumergió.
En resumen:
- El nadador emerge del agua a una distancia de 3 unidades respecto del punto de la superficie donde se sumergió.
- La profundidad máxima a la que llega es de aproximadamente -1.88 unidades.
