Respuesta:
Vamos a abordar cada pregunta una por una.
**División de polinomios:**
Para dividir \(2x^2 - 4\) por \(2x - 1\), usamos la división sintética o larga. Primero, asegurémonos de que los términos estén en orden descendente. Entonces, \(2x^2 - 4\) se convierte en \(2x^2 + 0x - 4\). Ahora, dividimos:
```
2x + 0
__________
2x - 1 | 2x^2 + 0x - 4
2x^2 - x
__________
x - 4
```
Por lo tanto, el cociente es \(2x\) y el residuo es \(x - 4\). Entonces, la división es \(2x + \frac{{x - 4}}{{2x - 1}}\).
**Suma y resta de polinomios:**
a) Para \(P(x) + Q(x)\), sumamos término a término:
\[ P(x) + Q(x) = (2x-x^3+6x^2-9) + (-4x+2x^3-5+7x) \]
Reorganizando términos similares, obtenemos:
\[ P(x) + Q(x) = (2x - 4x) + (-x^3 + 2x^3) + (6x^2 + 0) + (-9 - 5 + 7x) \]
\[ P(x) + Q(x) = -2x + x^3 + 6x^2 + 7x - 14 \]
Entonces, \( P(x) + Q(x) = x^3 + 6x^2 + 5x - 14 \).
b) Para \(R(x) - Q(x)\), restamos término a término:
\[ R(x) - Q(x) = (8-5x^3+2x^2-6x) - (-4x+2x^3-5+7x) \]
Reorganizando términos similares, obtenemos:
\[ R(x) - Q(x) = (8 + 0) - (-5x^3 - 2x^3) + (2x^2 - 0) - (-6x + 4x) \]
\[ R(x) - Q(x) = 8 + 3x^3 + 2x^2 - 2x \]
Entonces, \( R(x) - Q(x) = 3x^3 + 2x^2 - 2x + 8 \).
