Respuesta:
Explicación paso a paso Función 1:
f(x) = \frac{x + 1}{x^2 - 1}
Análisis:
Dominio: El dominio de la función está definido para todos los valores de x excepto para aquellos que hacen que el denominador sea igual a cero. Es decir, x ≠ ±1.
Comportamiento en los extremos del dominio:
x = 1: Al sustituir x = 1 en la función, obtenemos una forma indeterminada.
x = -1: Al sustituir x = -1 en la función, obtenemos una forma indeterminada.
Conclusión:
La función f(x) = (x + 1)/(x^2 - 1) es discontinua en los puntos x = 1 y x = -1.
Función 2:
f(x) = \frac{3x^2 - 2x}{x}
Análisis:
Dominio: El dominio de la función está definido para todos los valores de x excepto para x = 0.
Comportamiento en los extremos del dominio:
x = 0: Al sustituir x = 0 en la función, obtenemos una forma indeterminada.
Conclusión:
La función f(x) = (3x^2 - 2x)/x es discontinua en el punto x = 0.
Función 3:
f(x) = 6x^9 + 3x
Análisis:
Dominio: La función f(x) = 6x^9 + 3x está definida para todos los valores reales de x.
Comportamiento en los extremos del dominio:
x = -∞: Al sustituir x = -∞ en la función, obtenemos un límite infinito.
x = ∞: Al sustituir x = ∞ en la función, obtenemos un límite infinito.
Conclusión:
La función f(x) = 6x^9 + 3x es continua en todo su dominio.
Función 4:
f(x) = 2x^2 + x - 3
Análisis:
Dominio: La función f(x) = 2x^2 + x - 3 está definida para todos los valores reales de x.
Comportamiento en los extremos del dominio:
x = -∞: Al sustituir x = -∞ en la función, obtenemos un límite infinito.
x = ∞: Al sustituir x = ∞ en la función, obtenemos un límite infinito.
Conclusión:
La función f(x) = 2x^2 + x - 3 es continua en todo su dominio.
Resumen:
Función Continuidad Puntos de discontinuidad
f(x) = (x + 1)/(x^2 - 1) Discontinua x = 1, x = -1
f(x) = (3x^2 - 2x)/x Discontinua x = 0
f(x) = 6x^9 + 3x continúa -
f(x) = 2x^2 + x - 3 continúa -
Explicación:
Para determinar la continuidad de una función, se deben analizar dos aspectos:
Dominio: El dominio de una función son todos los valores reales de x para los que la función está definida.
Comportamiento en los extremos del dominio: Se analiza el comportamiento de la función cuando x se acerca a los extremos de su dominio.
Una función es continua en un punto si se cumplen las siguientes condiciones:
La función está definida en ese punto.
El límite de la función cuando x se acerca al punto es igual al valor de la función en ese punto.
Si alguna de estas condiciones no se cumple, la función es discontinua en ese punto.
