Respuesta:
Para determinar el valor de k para que la división (2x^2 - 4x + 3k - 2) ÷ (x - 3) tenga resto 19 mediante el método de Ruffini, seguiremos los siguientes pasos:
1. Escribimos el polinomio dividendo y el polinomio divisor:
Dividendo: 2x^2 - 4x + 3k - 2
Divisor: x - 3
2. Colocamos el coeficiente principal del divisor (1) a la derecha del dividendo, y los demás coeficientes del divisor (-3) debajo de los términos correspondientes del dividendo:
2 -4 3k -2 | 1
-3
3. Multiplicamos el coeficiente principal del divisor (1) por el término correspondiente del dividendo (2) y lo colocamos debajo del primer término del dividendo:
2 -4 3k -2 | 1
2 6 -6k 6
4. Restamos los términos de la segunda fila de los correspondientes de la primera fila:
0 -10 9k -8
5. Traemos el siguiente coeficiente del divisor (-3) hacia abajo y repetimos el proceso de multiplicación y resta hasta que ya no queden términos en el dividendo.
0 -10 9k -8 | -3
-30 27k -24
6. Finalmente, si el resto es 19, entonces el último renglón debe ser 0, 0, 0, 19.
Igualando los coeficientes del último renglón a 0 y 19, respectivamente, obtenemos:
-10 = 0
9k - 8 = 19
Resolviendo la segunda ecuación para k, tenemos:
9k = 19 + 8
9k = 27
k = 27/9
k = 3
Por lo tanto, el valor de k para que la división (2x^2 - 4x + 3k - 2) ÷ (x - 3) tenga resto 19 por el método de Ruffini es k = 3.
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