Respuesta:
Para resolver la división y hallar (p+q) si la división es exacta, en la expresión x⁴ + (P - 3)x² + (Q + 3)/x² + x + 1, sigue los siguientes pasos:
1. Divide x⁴ + (P - 3)x² + (Q + 3)/x² + x + 1 entre x² + 1.
Primero, multiplica x² + 1 por x² para obtener x⁴ + x².
x⁴ + (P - 3)x² + (Q + 3)/x² + x + 1 = (x⁴ + x²) + (P - 3)x² + (Q + 3)/x² + x + 1
Luego, resta (x⁴ + x²) de ambos lados:
(P - 3)x² + (Q + 3)/x² + x + 1 = (Q + 3)/x² + x + 1
2. Ahora, divide (Q + 3)/x² + x + 1 entre x² + 1.
Multiplica x² + 1 por (Q + 3)/x² para obtener (Q + 3) + (Q + 3)/x².
(Q + 3)/x² + x + 1 = ((Q + 3) + (Q + 3)/x²) + x + 1
Luego, resta ((Q + 3) + (Q + 3)/x²) de ambos lados:
x + 1 = 0
3. Si la división es exacta, el residuo debe ser cero. En este caso, x + 1 = 0, lo que implica que x = -1.
4. Sustituye x = -1 en la expresión original para encontrar los valores de P y Q.
x⁴ + (P - 3)x² + (Q + 3)/x² + x + 1
= (-1)⁴ + (P - 3)(-1)² + (Q + 3)/(-1)² + (-1) + 1
= 1 + (P - 3) + (Q + 3) - 1 + 1
= P - 3 + Q + 3
= P + Q
Por lo tanto, si la división es exacta, P + Q = 0.
En resumen, si la división x⁴ + (P - 3)x² + (Q + 3)/x² + x + 1 entre x² + 1 es exacta, entonces x = -1 y P + Q = 0.
