Respuesta :
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Para este problema, primero debemos encontrar la ecuacion de movimiento del sistema masa-resorte.
La ecuación de movimiento de un sistema masa-resorte está dada por la ecuación diferencial:
m * x''(t) + k * x(t) = 0
Donde m es la masa, x(t) es la posición de la masa en función del tiempo y x''(t) es la segunda derivada de x en función del tiempo.
Dado que la masa del sistema es m = 4 kg y la constante de elasticidad del resorte es k = 9 N/m, la ecuación de movimiento se convierte en:
4 * x''(t) + 9 * x(t) = 0
Para encontrar la solución general de esta ecuación diferencial, se asume una solución de la forma:
x(t) = A * cos(ωt) + B * sin(ωt)
Donde A y B son constantes que se determinan a partir de las condiciones iniciales y ω es la frecuencia angular del sistema dada por ω = √(k/m) = √(9/4) = 3/2.
Por lo tanto, la ecuación de movimiento del sistema masa-resorte es:
x(t) = A * cos(1.5t) + B * sin(1.5t)
Para encontrar las constantes A y B, se utilizan las condiciones iniciales dadas:
x(0) = 0.5 m
v(0) = 0
Donde v(t) es la velocidad de la masa en función del tiempo y x(0) = 0.5 m y v(0) = 0 son las condiciones iniciales.
Sustituyendo estas condiciones en la ecuación de movimiento y derivando con respecto al tiempo, se obtiene:
x(0) = A * cos(0) + B * sin(0) = A * 1 = A = 0.5
v(0) = -A * 1.5 * sin(0) + B * 1.5 * cos(0) = B * 1.5 = 0
Por lo tanto, B = 0.
Entonces, la solución particular de la ecuación diferencial es:
x(t) = 0.5 * cos(1.5t)
La respuesta a la pregunta 8 es: C. 0.5 cos (1.5t)
Para encontrar la magnitud y dirección de la velocidad de la masa cuando han transcurrido 2 segundos, se deriva la ecuación de movimiento con respecto al tiempo:
v(t) = -0.5 * 1.5 * sin(1.5t) = -0.75 sin(1.5t)
Evaluando en t = 2 segundos:
v(2) = -0.75 * sin(1.5 * 2) = -0.75 * sin(3) = -0.75 * 0.14 = -0.105 m/s hacia la izquierda
La respuesta a la pregunta 9 es: C. 0.1 m/s hacia la izquierda
Para encontrar la magnitud y dirección de la aceleración cuando han transcurrido 2 segundos, se deriva la velocidad con respecto al tiempo:
a(t) = -0.75 * 1.5 * cos(1.5t) = -1.125 cos(1.5t)
Evaluando en t = 2 segundos:
a(2) = -1.125 * cos(1.5 * 2) = -1.125 * cos(3) = -1.125 * (-0.99) = 1.114 m/s^2 hacia la derecha
La respuesta a la pregunta 10 es: B. 1.1 m/s hacia la derecha