Respuesta:
Para determinar la distancia que la caja desliza para alcanzar una rapidez de 16 m/s, primero necesitamos analizar las fuerzas que actúan sobre la caja y luego aplicar la segunda ley de Newton para el movimiento.
Las fuerzas que actúan sobre la caja son:
1. El peso de la caja: \(F_p = m \cdot g\), donde \(m = 200\) kg es la masa de la caja y \(g = 9.8\) m/s² es la aceleración debido a la gravedad.
2. La fuerza normal: \(N = m \cdot g\), donde \(m = 200\) kg es la masa de la caja y \(g = 9.8\) m/s² es la aceleración debido a la gravedad.
3. La fuerza de fricción cinética: \(f_k = \mu_k \cdot N\), donde \(\mu_k = 0.2\) es el coeficiente de fricción cinética.
La fuerza resultante que impulsa la caja hacia adelante es la fuerza horizontal, que en este caso es la componente de la fuerza \(F_2\):
\[F_{\text{resultante}} = F_2 - f_k\]
Dado que la caja parte del reposo, la aceleración inicial es \(a_0 = 0\), y la aceleración final \(a\) cuando la caja alcanza una velocidad de 16 m/s.
La segunda ley de Newton establece que la fuerza resultante es igual a la masa por la aceleración (\(F_{\text{resultante}} = m \cdot a\)). Entonces:
\[F_2 - f_k = m \cdot a\]
Sustituyendo las expresiones para \(f_k\) y \(N\):
\[F_2 - \mu_k \cdot N = m \cdot a\]
\[F_2 - \mu_k \cdot m \cdot g = m \cdot a\]
\[F_2 = m \cdot a + \mu_k \cdot m \cdot g\]
\[F_2 = m \cdot (a + \mu_k \cdot g)\]
La distancia que la caja desliza se puede encontrar usando la ecuación de movimiento:
\[v^2 = u^2 + 2 \cdot a \cdot s\]
Donde \(v = 16\) m/s es la velocidad final, \(u = 0\) m/s es la velocidad inicial, y \(s\) es la distancia que queremos encontrar. Despejando \(s\):
\[s = \frac{v^2 - u^2}{2 \cdot a}\]
Sustituyendo \(v\), \(u\), y \(a = \frac{F_2}{m}\):
\[s = \frac{16^2 - 0^2}{2 \cdot \frac{F_2}{m}}\]
\[s = \frac{256}{2 \cdot \frac{F_2}{m}}\]
\[s = \frac{256 \cdot m}{2 \cdot F_2}\]
Sustituyendo \(F_2\):
\[s = \frac{256 \cdot m}{2 \cdot m \cdot (a + \mu_k \cdot g)}\]
\[s = \frac{256}{2 \cdot (a + \mu_k \cdot g)}\]
Finalmente, sustituyendo los valores conocidos obtenemos la distancia que la caja desliza:
\[s = \frac{256}{2 \cdot (\frac{F_2}{m} + \mu_k \cdot g)}\]
¡Calcula la distancia y me cuentas el resultado!
