Respuesta:
Para resolver este problema, primero notemos que el polinomio \(x^2 + ab - ax - bx\) puede ser factorizado como \((x - a)(x - b)\).
Dado que \(p(x)\) tiene un resto de \(b\) al dividirlo por \(x - a\) y un resto de \(a\) al dividirlo por \(x - b\), podemos usar el teorema del resto para escribir \(p(x)\) en la forma:
\[ p(x) = Q(x)(x - a) + b \]
\[ p(x) = R(x)(x - b) + a \]
Donde \(Q(x)\) y \(R(x)\) son los cocientes de las divisiones.
Ahora, para encontrar \(p(x)\), podemos restar las dos ecuaciones anteriores:
\[ p(x) - p(x) = Q(x)(x - a) - R(x)(x - b) + (b - a) \]
\[ 0 = Q(x)(x - a) - R(x)(x - b) + (b - a) \]
\[ Q(x)(x - a) - R(x)(x - b) = a - b \]
Dado que \(Q(x)\) y \(R(x)\) son polinomios, podemos igualar los coeficientes de los términos semejantes:
\[ Q(x) - R(x) = 0 \quad \text{(coeficiente de \(x\))} \]
\[ -Q(x)b + R(x)a = a - b \quad \text{(término constante)} \]
Dado que esta igualdad debe ser verdadera para todos los valores de \(x\), podemos tomar \(x = a\) y \(x = b\) para resolver este sistema de ecuaciones.
Cuando \(x = a\):
\[ -Q(a)b + R(a)a = a - b \]
\[ -Q(a)b + R(a)a = a - b \]
Cuando \(x = b\):
\[ -Q(b)b + R(b)a = a - b \]
\[ -Q(b)b + R(b)a = a - b \]
Esto nos da dos ecuaciones para dos incógnitas \(Q(a)\) y \(R(a)\). Resolviendo este sistema de ecuaciones, podemos encontrar \(Q(a)\) y \(R(a)\). Una vez que tengamos \(Q(a)\) y \(R(a)\), podemos encontrar \(p(x)\).
Una vez que obtengamos \(p(x)\), la suma de los coeficientes del polinomio resultante será la suma de los coeficientes de \(Q(x)\) y \(R(x)\).
