Respuesta :
Explicación:
Para resolver este problema, podemos utilizar la relación entre la velocidad angular[tex](\( \omega \))[/tex]y la velocidad lineal[tex](\( v \))[/tex] en el borde de la rueda, que está dada por[tex]\( v = r \times \omega \),[/tex] donde [tex]\( r \)[/tex] es el radio de la rueda.
Dado que[tex]\( r = 30 \) pies y \( \omega = 2 \) rad/s[/tex], podemos calcular la velocidad lineal [tex](\( v \))[/tex] en el borde de la rueda:
[tex]\[ v = 30 \, \text{pies} \times 2 \, \text{rad/s} = 60 \, \text{pies/s} \][/tex]
Ahora, para encontrar la rapidez a la que se eleva el asiento, podemos usar la derivada de la función altura con respecto al tiempo. La altura \( h \) del asiento respecto al suelo es igual a [tex]\( r - r \cos(\theta) \),[/tex] donde[tex]\( \theta \)[/tex] es el ángulo que forma el radio con la horizontal.
Entonces, la velocidad a la que se eleva el asiento [tex]\( dh/dt \)[/tex] es igual a[tex]\( -r \sin(\theta) \times d\theta/dt \)[/tex]. Como ya sabemos que[tex]\( d\theta/dt = \omega \),[/tex] podemos sustituir y resolver:
[tex]\[ dh/dt = -r \sin(\theta) \times \omega \][/tex]
Dado que[tex]\( r = 30 \)[/tex] pies y el asiento está a [tex]\( 15 \)[/tex]pies del eje horizontal,[tex]\( r \cos(\theta)[/tex] = [tex]15 \)[/tex] pies. Despejando [tex]\( \cos(\theta) \), tenemos \( \cos(\theta) = 15/r \).[/tex]
Sustituyendo [tex]\( r = 30 \)[/tex] pies, obtenemos [tex]\( \cos(\theta) = 15/30 = 0.5 \).[/tex] Por lo tanto,[tex]\( \theta = \cos^{-1}(0.5) = \pi/3 \)[/tex] radianes.
Ahora podemos calcular \( \sin(\theta) \):
[tex]\[ \sin(\pi/3) = \sqrt{3}/2 \][/tex]
Sustituyendo en la fórmula obtenemos:
[tex]\[ dh/dt = -30 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \times 2 = -30\sqrt{3} \, \text{pies/s} \][/tex]
Entonces, el asiento se está elevando a una velocidad de [tex]\( 30\sqrt{3} \)[/tex] pies/s.