Respuesta :
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Para resolver este problema, podemos modelar la situación como una parábola. La ecuación de la parábola en este caso sería de la forma \( y = ax^2 + c \), donde \( x \) es la distancia desde el centro de la parábola y \( y \) es la altura de la cuerda.
Dado que la cuerda forma una parábola simétrica respecto al punto medio entre los dos niños (que está a 2.5 metros de cada niño), podemos encontrar la ecuación de la parábola utilizando la ecuación \( y = ax^2 + c \) con los puntos conocidos (2.5, 1) y (-2.5, 1).
Primero, encontramos el valor de \( a \):
1. Utilizando el punto (2.5, 1):
\( 1 = a(2.5)^2 + c \)
2. Utilizando el punto (-2.5, 1):
\( 1 = a(-2.5)^2 + c \)
Restando estas dos ecuaciones para eliminar \( c \):
\[ 0 = a(2.5)^2 - a(-2.5)^2 \]
\[ 0 = 6.25a - 6.25a \]
\[ 0 = 0 \]
Esto significa que no necesitamos resolver para \( a \), ya que se cancela. Esto se debe a que la parábola es simétrica y por lo tanto \( a \) no afecta a la simetría.
Ahora, para encontrar la altura de la cuerda a 1.5 metros del centro de la parábola, sustituimos \( x = 1.5 \) en la ecuación de la parábola. Como \( a \) se cancela, no necesitamos calcularlo:
\[ y = 1.5^2 + c \]
\[ y = 2.25 + c \]
Dado que la cuerda tiene una altura de 1 metro, podemos establecer \( y = 1 \) y resolver para \( c \):
\[ 1 = 2.25 + c \]
\[ c = 1 - 2.25 \]
\[ c = -1.25 \]
Entonces, la ecuación de la parábola es \( y = x^2 - 1.25 \). Ahora, para encontrar la altura de la cuerda a 1.5 metros del centro de la parábola, sustituimos \( x = 1.5 \):
\[ y = (1.5)^2 - 1.25 \]
\[ y = 2.25 - 1.25 \]
\[ y = 1 \]
Por lo tanto, la altura de la cuerda a 1.5 metros del centro de la parábola es de 1 metro.