Respuesta:
Para encontrar la segunda derivada de \( f(x) = \ln(\tan(2x)) \), primero necesitamos encontrar las primeras y segundas derivadas de \( \tan(2x) \). Luego, aplicamos la regla de la cadena para obtener la segunda derivada de \( \ln(\tan(2x)) \).
Primero, la primera derivada de \( \tan(2x) \) es \( \frac{d}{dx}[\tan(2x)] = 2 \sec^2(2x) \).
La segunda derivada de \( \tan(2x) \) es \( \frac{d^2}{dx^2}[\tan(2x)] = 8 \sec^2(2x) \tan(2x) \).
Ahora, aplicamos la regla de la cadena para encontrar la segunda derivada de \( \ln(\tan(2x)) \):
\[ \frac{d^2}{dx^2}[\ln(\tan(2x))] = \frac{d}{dx}\left[\frac{1}{\tan(2x)} \cdot \frac{d}{dx}[\tan(2x)]\right] \]
\[ = \frac{d}{dx}\left[\frac{2 \sec^2(2x)}{\tan(2x)}\right] \]
\[ = \frac{2 \sec^2(2x) \cdot \frac{d}{dx}[\tan(2x)] - 2 \tan(2x) \cdot \frac{d}{dx}[\sec^2(2x)]}{[\tan(2x)]^2} \]
\[ = \frac{2 \sec^2(2x) \cdot 2 \sec^2(2x) - 2 \tan(2x) \cdot 2 \sec(2x) \cdot \tan(2x)}{[\tan(2x)]^2} \]
\[ = \frac{4 \sec^4(2x) - 4 \tan^2(2x) \sec(2x)}{\tan^2(2x)} \]
\[ = \frac{4 \sec^4(2x) - 4 \sin^2(2x)}{\cos^2(2x)} \]
Espero que eso te ayude a entender cómo derivar la segunda derivada de la función dada.
