Respuesta :
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Para resolver este problema, primero definamos y utilicemos los conceptos de media proporcional y proporciones en la solución.
**Paso 1: Resolver para "a" usando la media proporcional**
Cuando decimos que 15 es la media proporcional entre "a" y 25, estamos diciendo que:
\[ a:15 = 15:25 \]
Lo que implica que:
\[ \frac{a}{15} = \frac{15}{25} \]
Resolviendo para "a":
\[ a = 15 \times \frac{15}{25} = 15 \times 0.6 = 9 \]
**Paso 2: Resolver para "b" usando la tercera proporcional**
Ahora, sabemos que 2a es la tercera proporcional de 8 y "b". Esto implica que:
\[ 8:b = b:2a \]
Dado que \( a = 9 \), entonces \( 2a = 18 \). Así que la ecuación es:
\[ 8:b = b:18 \]
Resolviendo para "b", cruzamos multiplicando:
\[ 8 \times 18 = b \times b \]
\[ 144 = b^2 \]
\[ b = \sqrt{144} = 12 \] (consideramos el valor positivo porque en contextos de proporciones, generalmente se consideran cantidades positivas)
**Paso 3: Encontrar la cuarta proporcional de a, b y 15**
Ahora, la cuarta proporcional de "a", "b", y 15 se define como el número "x" tal que:
\[ a:b = 15:x \]
Sustituyendo los valores de "a" y "b":
\[ 9:12 = 15:x \]
\[ \frac{9}{12} = \frac{15}{x} \]
Cruzamos multiplicando para resolver para "x":
\[ 9x = 12 \times 15 \]
\[ 9x = 180 \]
\[ x = \frac{180}{9} = 20 \]
Por lo tanto, la cuarta proporcional de \( a \), \( b \), y 15 es **20**