Respuesta ^^
Para bosquejar la gráfica de la ecuación 9x² - 4y² - 54x + 8y + 113 = 0, primero vamos a completar cuadrados para convertirla en su forma canónica.
9x² - 4y² - 54x + 8y + 113 = 0
Dividimos todos los términos por -1
-9x² + 4y² + 54x - 8y - 113 = 0
Agrupamos x y y en parejas y completamos cuadrados para x y y por separado:
(-9x² + 54x) + (4y² - 8y) = 113
Completando cuadrados para x:
(-9(x² - 6x)) + (4y² - 8y) = 113
Completando cuadrados para y:
-9(x² - 6x) + 4(y² - 2y) = 113 + 54 + 8
-9(x² - 6x + 9) + 4(y² - 2y + 1) = 176
-9(x - 3)² + 4(y - 1)² = 176
Ahora, la ecuación se muestra en su forma canónica:
-9(x - 3)² + 4(y - 1)² = 176
De esta forma, podemos identificar que se trata de una hipérbola. Los coeficientes negativos en x² y y² indican que los ejes de simetría de la hipérbola se encuentran en el eje y (vertical) y en el eje x (horizontal), respectivamente.
Para determinar los vértices, focos, rectas directrices y asíntotas de la hipérbola, necesitaremos despejar y de la ecuación canónica:
-9(x - 3)² + 4(y - 1)² = 176
Dividimos todos los términos por 176
-(x - 3)²/((4(176))) + (y - 1)²/(9(176)) = 1
Comparando con la forma canónica de una hipérbola:
(x - h)²/a² - (y - k)²/b² = 1
Podemos identificar que:
h = 3
k = 1
a = √(176/(9(176))) ≈ 0.3315
b = √(176/(4(176))) ≈ 0.6708
Los vértices se encuentran en los puntos (h ± a, k):
V₁ = (3 + 0.3315, 1) ≈ (3.3315, 1)
V₂ = (3 - 0.3315, 1) ≈ (2.6685, 1)
Los focos se encuentran en los puntos (h ± c, k), donde c = √(a² + b²):
c = √(0.3315² + 0.6708²) ≈ 0.7514
F₁ = (3 + 0.7514, 1) ≈ (3.7514, 1)
F₂ = (3 - 0.7514, 1) ≈ (2.2486, 1)
Las rectas directrices se encuentran en los puntos x = h ± a/e, donde e = √(a² + b²):
e = √(0.3315² - 0.6708²) ≈ 0.5702
R₁: x = 3 + 0.3315/0.5702 ≈ 3.5799
R₂: x = 3 - 0.3315/0.5702 ≈ 2.4201
Las asíntotas se pueden encontrar utilizando las fórmulas y = k ± (b/a)(x - h):
Asíntota vertical: y = 1 ± (0.6708 / 0.3315)(x - 3)
Asíntota horizontal: y = 1 ± (0.3315 / 0.6708)(x - 3)
Con esta información, podemos bosquejar la gráfica de la hipérbola y ubicar los vértices, focos, rectas directrices y asíntotas.
