Para resolver este problema, primero podemos simplificar las ecuaciones dadas para obtener una expresión más simple para \(a\) y \(r\).
Dado que la suma de los primeros \(n\) términos de una S.G. está dada por \(S_n = a\left(\frac{{r^n - 1}}{{r - 1}}\right)\), podemos despejar \(a\) de la primera ecuación:
\[a = \frac{{14}}{{\frac{{r^n - 1}}{{r - 1}}}}\]
Y dado que el producto de los primeros \(n\) términos de una S.G. está dado por \(P_n = a^n \cdot r^{(n-1)n/2}\), podemos despejar \(a\) de la segunda ecuación:
\[a = \sqrt[3]{\frac{{64}}{{r^{(n-1)n/2}}}}\]
Igualamos estas dos expresiones para \(a\):
\[\frac{{14}}{{\frac{{r^n - 1}}{{r - 1}}}} = \sqrt[3]{\frac{{64}}{{r^{(n-1)n/2}}}}\]
Despejamos \(r\) y encontramos su valor. Dado que el problema no especifica un valor específico para \(n\), puede haber múltiples soluciones posibles. Entendido. Procedamos a resolver la ecuación original sin simplificaciones adicionales.
La ecuación original es:
\[\frac{{14}}{{\frac{{r^n - 1}}{{r - 1}}}} = \sqrt[3]{\frac{{64}}{{r^{(n-1)n/2}}}}\]
Sustituimos \(n = 3\) en la ecuación:
\[\frac{{14}}{{\frac{{r^3 - 1}}{{r - 1}}}} = \sqrt[3]{\frac{{64}}{{r^{3(3-1)3/2}}}}\]
Esto se simplifica a:
\[\frac{{14(r - 1)^2}}{{r^3 - 1}} = \sqrt[3]{\frac{{64}}{{r^6}}}\]
Elevamos ambos lados al cubo para eliminar la raíz cúbica:
\[\left(\frac{{14(r - 1)^2}}{{r^3 - 1}}\right)^3 = \frac{{64}}{{r^6}}\]
\[14^3(r - 1)^6 = 64(r^3 - 1)^3\]
Expandimos ambos lados:
\[2744(r^6 - 6r^5 + 15r^4 - 20r^3 + 15r^2 - 6r + 1) = 64(r^9 - 3r^6 + 3r^3 - 1)\]
Distribuimos y simplificamos términos:
\[2744r^6 - 16464r^5 + 41160r^4 - 54912r^3 + 41160r^2 - 16464r + 2744 = 64r^9 - 192r^6 + 192r^3 - 64\]
\[0 = 64r^9 - 2744r^6 + 16464r^5 - 41160r^4 + 54912r^3 - 41160r^2 + 16464r - 2744\]
Esta es una ecuación polinómica de noveno grado que puede ser difícil de resolver. Podemos intentar encontrar soluciones numéricas mediante métodos numéricos o aproximaciones.
