Explicación paso a paso:
Para calcular el radio de la pirámide, primero necesitamos encontrar la longitud de un lado de la base. La superficie lateral de una pirámide se puede calcular usando la fórmula:
\[ S = \frac{1}{2} \cdot p \cdot l \]
Donde \( S \) es la superficie lateral, \( p \) es el perímetro de la base y \( l \) es la apotema de la pirámide.
Dado que sabemos que \( S = 100 \, \text{cm}^2 \) y \( l = 6 \, \text{cm} \) (altura de la pirámide), podemos despejar \( p \):
\[ 100 = \frac{1}{2} \cdot p \cdot 6 \]
Resolviendo para \( p \):
\[ p = \frac{100 \times 2}{6} = \frac{200}{6} \approx 33.33 \, \text{cm} \]
Como la base de la pirámide es un cuadrado, el perímetro \( p \) es igual a \( 4r \), donde \( r \) es el radio del círculo inscrito en la base de la pirámide. Entonces:
\[ 4r = \frac{200}{6} \]
\[ r = \frac{200}{6 \times 4} \]
\[ r = \frac{200}{24} \]
\[ r \approx 8.33 \, \text{cm} \]
Ahora que tenemos el radio, podemos calcular el volumen de la pirámide. El volumen de una pirámide se calcula mediante la fórmula:
\[ V = \frac{1}{3} \cdot A_{\text{base}} \cdot h \]
Donde \( V \) es el volumen, \( A_{\text{base}} \) es el área de la base y \( h \) es la altura.
Para encontrar el área de la base, podemos usar el radio \( r \):
\[ A_{\text{base}} = \pi r^2 \]
\[ A_{\text{base}} = \pi \times (8.33)^2 \]
\[ A_{\text{base}} \approx 218.5 \, \text{cm}^2 \]
Ahora, podemos calcular el volumen:
\[ V = \frac{1}{3} \cdot 218.5 \cdot 6 \]
\[ V = \frac{218.5 \times 6}{3} \]
\[ V = \frac{1311}{3} \]
\[ V \approx 437 \, \text{cm}^3 \]
Entonces, el radio de la pirámide es aproximadamente \( 8.33 \, \text{cm} \) y su volumen es aproximadamente \( 437 \, \text{cm}^3 \).
